[論文レビュー] Beta-Linear Failure Rate Distribution and its Applications

Ali Akbar Jafari, Eisa Mahmoudi|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2012

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、線形故障率（LFR）および関連モデルを一般化する四パラメータの柔軟な寿命分布であるベータ線形故障率（BLFR）分布を提案する。この分布により、密度関数、ハザード関数、モーメントの閉形式表現を用いて、バスタブ型や単峰型の故障率行動をモデル化可能であり、最尤推定と実データ適合の結果、LFR、GE、レイリー分布などの既存モデルよりも優れた適合を示す。

ABSTRACT

We introduce in this paper a new four-parameter generalized version of the linear failure rate (LFR) distribution which is called Beta-linear failure rate (BLFR) distribution. The new distribution is quite flexible and can be used effectively in modeling survival data and reliability problems. It can have a constant, decreasing, increasing, upside-down bathtub (unimodal) and bathtub-shaped failure rate function depending on its parameters. It includes some well-known lifetime distributions as special submodels. We provide a comprehensive account of the mathematical properties of the new distributions. In particular, A closed-form expressions for the density, cumulative distribution and hazard rate function of the BLFR is given. Also, the $r$th order moment of this distribution is derived. We discuss maximum likelihood estimation of the unknown parameters of the new model for complete sample and obtain an expression for Fishers information matrix. In the end, to show the flexibility of this distribution and illustrative purposes, an application using a real data set is presented.

研究の動機と目的

• 線形故障率（LFR）および一般化LFR（GLFR）分布を拡張する新しい四パラメータの寿命分布の開発。
• 信頼性および生存研究で一般的なバスタブ型や単峰型の非単調故障率行動を捉えることのできる柔軟なモデルの提供。
• BLFR分布の確率密度関数、累積分布関数、およびハザード関数の閉形式表現の導出。
• パラメータ推定のための最尤推定法およびフィッシャー情報行列の確立。
• 実データへの応用および既存分布との統計的検定を用いた比較を通じて、モデルの優位性の実証。

提案手法

• BLFR分布は、ベースラインのCDFがG(x) = 1 - exp(-ax - (b/2)x²) で定義されるベータ一般化族を用いて構築される。
• 得られる密度関数は f(x) = [ (a + bx) / B(α,β) ] × [1 - exp(-ax - (b/2)x²)]^{α-1} × exp(-aβx - (bβ/2)x²) であり、パラメータ a, b, α, β > 0 である。
• ハザード関数は h(x) = [ (a + bx) / (B(α,β) - B_G(x)(α,β)) ] × [1 - G(x)]^{α-1} × exp(-aβx - (bβ/2)x²) として導出される。
• 級数展開技術を用いて、分布のモーメントを閉形式で導出する。
• 数値最適化を用いた最尤推定が実施され、標準誤差の近似に観測フィッシャー情報行列が計算される。
• 実データセットを用いたモデル比較では、AIC、AICC、BIC、コルモゴロフ・スミルノフ、アンダーソン・ダーリング、クラムエール・フォン・ミーゼス統計量が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形故障率分布の四パラメータ一般化は、バスタブ型や単峰型の非単調故障率行動を効果的にモデル化できるか？
• RQ2 BLFR分布は、LFR、GE、レイリー、GLFRなどの既存モデルよりも、実生存または信頼性データに対して優れた統計的適合を提供するか？
• RQ3 BLFRパラメータの最尤推定値はどれほど正確であり、サンプルサイズの増加に伴い標準誤差は減少するか？
• RQ4 尤度比検定に基づくと、BLFRはネストされた部分モデル（例：GLFR、LFR）よりも統計的に優位性を示すか？
• RQ5 経験的スケーリング済みTTTプロットは、複雑な故障パターンを示すデータに対してハザード関数の形状を信頼性高く示せるか？

主な発見

• BLFR分布は、パラメータ値に応じて、定常、減少、増加、逆バスタブ型、バスタブ型のさまざまな故障率行動を示す。
• 実データセットにおいて、BLFRモデルが最も良好な適合を示し、AIC（103.21）、AICC（103.52）、BIC（108.12）の値がすべての比較モデルの中で最小であった。
• コルモゴロフ・スミルノフ検定統計量はBLFRで最小（0.078）であり、p値は最大（0.72）であった。これは、優れた適合度を示している。
• 尤度比検定では、GLFR、LFR、GR、GEのすべてのネストされた部分モデルがBLFRに反対して棄却され、p値はそれぞれ0.019、0.00047、0.0158、6e-05であった。
• シミュレーションの結果、10,000回の再試行すべてで最尤推定値が収束し、バイアスが低く、サンプルサイズが30から200に増加するに従い標準誤差が減少した。
• 経験的TTTプロットは、バスタブ型のハザード関数を確認し、データに対してBLFRモデルの適切さを裏付けた。