[論文レビュー] Bethe ansatz solution for crossover scaling functions of the asymmetric XXZ chain and the Karder--Parisi--Zhang-type growth model

Doochul Kim|ArXiv.org|Mar 31, 1995

Theoretical and Computational Physics被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、非対称XXZハミルトニアンのストキャスティックライン近くにおける有限サイズ補正を計算するための摂動的Bethe ansatz法を開発し、質量ギャップの普遍的クロスオーバー スケーリング関数を導出する。KPZ領域では質量ギャップが$N^{-3/2}$に比例することを確立し、基底状態の傾きがゼロの状況における第一階層のKPZからEdwards-Wilkinsonへのクロスオーバー スケーリング関数を大引数展開で得る。

ABSTRACT

A perturbative method is developed to calculate the finite size corrections of the low lying energies of the asymmetric XXZ hamiltonian near the stochastic line. The crossover from isotropic to anisotropic, Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) scaling of the mass gaps is determined in terms of universal crossover scaling functions. At the stochastic line, the asymmetric XXZ hamiltonian describes the time evolution of the single-step or body-centered solid-on-solid growth model in one dimension. The mass gaps of the growth model are found as a function of the growth rate and the substrate slope. Higher order corrections to the growth model mass gaps are also calculated to obtain the first terms of the KPZ to Edward-Wilkinson crossover scaling function in the large argument expansion in the zero slope sector.

研究の動機と目的

• 非対称XXZハミルトニアンの低エネルギー準位における有限サイズ補正を、ストキャスティックライン近くで導出すること。
• 一次元成長モデルにおける質量ギャップの等方的（KPZ）から非等方的（Edwards-Wilkinson）へのスケーリングへのクロスオーバーを特定すること。
• 成長率がゼロの領域（$m=0$）における質量ギャップの高次補正を計算し、KPZからEdwards-Wilkinsonへのクロスオーバー スケーリング関数の主要項を得ること。
• GwaとSpohnの先行研究を、特別な場合$s=1$, $m=0$にとどまらず、一般の$s$および$m$へと拡張すること。
• ストキャスティックラインにおける質量ギャップが$N^{-3/2}$に比例することを確立し、KPZ普遍性と整合すること。

提案手法

• パrameters $\Delta$, $s$, $m$ を持つ非対称XXZハミルトニアンにBethe ansatz方程式を適用する。
• 小さな$1 - \Delta$に対してエネルギー$E_N(\Delta, s, m)$を$1/N^{1/2}$のべき級数に展開し、系サイズ依存補正を体系的に得る。
• 位相関数の正則性仮定を用いて、Bethe ansatz方程式内の有限和を無限級数に変換する。
• 摂動展開により位相関数を自己無撞着に決定し、$1/N^{1/2}$の級数を得る。
• 得られたエネルギー展開を用いて、励起状態と基底状態のエネルギー差として質量ギャップを計算する。
• 最初の補正項を計算することで、成長率がゼロの領域（$m=0$）における大引数極限でのKPZからEdwards-Wilkinsonへのクロスオーバー スケーリング関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称XXZハミルトニアンの低エネルギー準位における有限サイズ補正は、ストキャスティックライン近くでどのように振る舞うか？
• RQ2 成長率がゼロの領域における、KPZスケーリングからEdwards-Wilkinsonスケーリングへの普遍的クロスオーバー スケーリング関数の関数的形は何か？
• RQ3 ストキャスティックライン（$\Delta=1$）における質量ギャップは系サイズ$N$に対してどのようにスケーリングするか？KPZ普遍性が予測する$N^{-3/2}$に従うか？
• RQ4 Bethe ansatzは、特別な場合$s=1$, $m=0$を越えて、一般の$s$および$m$に対して体系的に拡張可能か？
• RQ5 KPZからEdwards-Wilkinsonへのクロスオーバーにおける質量ギャップの主要補正項は何か？また、成長率$s$にどのように依存するか？

主な発見

• 非対称XXZハミルトニアンの質量ギャップは、ストキャスティックライン（$\Delta=1$）において$N^{-3/2}$に比例することが確認され、一次元におけるKPZ普遍性が裏付けられる。
• 成長率がゼロの領域（$m=0$）における質量ギャップの第一階層補正は、大引数展開におけるKPZからEdwards-Wilkinsonへのクロスオーバー スケーリング関数の主要項をもたらす。
• 第一励起状態のクロスオーバー スケーリング関数$F(t)$が明示的に導出され、$t$は成長率$s$と系サイズ$N$に比例する。
• 一般の$m$について、エネルギー$E_N(\Delta, s, m)$は$1/N^{1/2}$の摂動級数として表現可能であり、有限サイズ効果を体系的に計算可能となる。
• Bethe ansatz方程式における位相関数が$y = -1$で本質的特異点を持つことが示され、エネルギー準位の非正則な振る舞いが示唆される。
• GwaとSpohnの先行研究（$s=1$, $m=0$ のみを扱った）を、一般の$s$および$m$へと拡張する手法が得られた。