[論文レビュー] Better Approximation Algorithms for Maximum Asymmetric Traveling Salesman and Shortest Superstring

Katarzyna Paluch|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Algorithms and Data Compression参考文献 24被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、2つのサイクルカバーから導かれる多重グラフにおける半エッジ、マッチング、エッジ彩色の新技術を用いて、最大非対称巡回セールスマン問題（Max ATSP）に対する新しい組み合わせ的 $\frac{3}{4}$-近似アルゴリズムを提示する。この手法は、Max ATSP の既存の最良近似比を改善し、最短スーパー文字列問題（SSP）に対して $2\frac{11}{30} \approx 2.3667$-近似を達成する。これは以前の最良値 $2\frac{11}{23} \approx 2.4782$ を上回る。

ABSTRACT

In the maximum asymmetric traveling salesman problem (Max ATSP) we are given a complete directed graph with nonnegative weights on the edges and we wish to compute a traveling salesman tour of maximum weight. In this paper we give a fast combinatorial $\frac 34$-approximation algorithm for Max ATSP. It is based on a novel use of {\it half-edges}, matchings and a new method of edge coloring. (A {\it half-edge} of edge $(u,v)$ is informally speaking "either a head or a tail of $(u,v)$".) The current best approximation algorithms for Max ATSP, achieving the approximation guarantee of $\frac 23$, are due to Kaplan, Lewenstein, Shafrir and Sviridenko and Elbassioni, Paluch, van Zuylen. Using a recent result by Mucha, which states that an $α$-approximation algorithm for Max ATSP implies a $(2+\frac{11(1-α)}{9-2α})$-approximation algorithm for the shortest superstring problem (SSP), we obtain also a $(2 \frac{11}{30} \approx 2,3667)$-approximation algorithm for SSP, beating the previously best known (having approximation factor equal to $2 \frac{11}{23} \approx 2,4782$.)

研究の動機と目的

• 最大非対称巡回セールスマン問題（Max ATSP）のより良い近似アルゴリズムを開発すること。Max ATSP は APX 困難であり、これまでに $\frac{2}{3}$-近似が知られていた。
• 既存のアルゴリズムの限界を克服し、サイクルカバーに含まれる 2-サイクルおよび 3-サイクルを排除することで、近似性能の低下を回避すること。
• 最大重みサイクルカバーと緩和されたサイクルカバーの二つからなる多重グラフを構築する新手法を確立し、パス分解を可能にするエッジ彩色を可能にする。
• 改善された Max ATSP 近似を用いて、DNA シーケンシングやデータ圧縮の分野で重要な最短スーパー文字列問題（SSP）に対するより良い近似を得ること。
• 線形計画法（LP）に基づく手法の代わりに、より効率的で概念的に単純な組み合わせ的代替手法を提供し、近似保証を向上させること。

提案手法

• 最大重みマッチングを用いて完全有向グラフの最大重みサイクルカバー $C_{\text{max}}$ を計算し、最適巡回路重みの下界とする。
• 半エッジ（エッジの頭部または尾部を表す）を用いて、$C_{\text{max}}$ に含まれる 2-および 3-サイクルを回避する緩和されたサイクルカバー $C_1$ を構築し、$w(C_1) \geq \text{OPT}$ を保証する。
• $C_{\text{max}}$ から1つのコピー、$C_1$ から2つのコピーを含む多重グラフ $G_1$ を構築し、各エッジが最大3回まで出現するようにし、合計重みが $3\cdot\text{OPT}$ 以上となるようにする。
• 4色を用いた新規エッジ彩色スキームを適用し、$G_1$ を4つの集合 $Z_1, \dots, Z_4$ に分割する。各集合は頂点を共有しないパスから構成され、そのうちの1つは重みが $\frac{3}{4}\cdot\text{OPT}$ 以上であることを保証する。
• 三角形や 2-サイクルに対処するための注意深い彩色戦略を用い、動的色置換と衝突回避により単色サイクルの発生を防ぐ。
• 必要に応じて、$C_1$ と別のカバー $C_2$ 間でエッジと半エッジを入れ替えることで、頂点に4本以上の出発エッジが存在するような問題的構成を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 組み合わせ的技法を用いた場合、最大非対称巡回セールスマン問題（Max ATSP）に対して達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ2 最大重みサイクルカバーに含まれる 2-および 3-サイクルを効果的に排除または回避することで、近似保証を向上させることは可能か？
• RQ3 1つの標準的カバーと1つの緩和されたカバーから構築された多重グラフは、エッジ彩色によって4つのパス集合に分解可能であり、その中から高重みの巡回セールスマン巡回路を抽出できるか？
• RQ4 Max ATSP に対する $\frac{3}{4}$-近似が、以前に知られていたものよりも優れた近似を最短スーパー文字列問題（SSP）に対して得ることを可能にするか？
• RQ5 半エッジと新規エッジ彩色技術を用いることで、線形計画法に依存しない組み合わせ的アルゴリズムを実現し、Max ATSP 及び関連問題において性能を向上させることができるか？

主な発見

• 本稿では、Max ATSP に対する組み合わせ的 $\frac{3}{4}$-近似アルゴリズムを提示し、以前の最良比 $\frac{2}{3}$ を上回る。
• 緩和されたサイクルカバー（半エッジを用い、2つのサイクルカバーからなる多重グラフ）を用いることで、4色に彩色されたパス集合のうち1つが、最適巡回路重みの $\frac{3}{4}$ 以上であることが保証される。
• 新規の彩色およびエッジ交換戦略により、最大重みサイクルカバーにおける 2-および 3-サイクルに起因する性能劣化を効果的に回避できた。
• Mucha の結果を応用することで、最短スーパー文字列問題（SSP）に対して $2\frac{11}{30} \approx 2.3667$-近似が得られ、以前の最良値 $2\frac{11}{23} \approx 2.4782$ を上回った。
• アルゴリズムは完全に組み合わせ的であり、線形計画法を回避しており、従来の LP に基づく手法に比べてより効率的で、概念的にも単純である。
• 動的色置換と衝突解決を用いたプロセスにより、三角形や 2-サイクルが存在する状況でも、アルゴリズムの堅牢性が実証された。