[論文レビュー] Better Complexity Bounds for Cost Register Automata

Rajeev Alur, Loris D’Antoni+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

semigroups and automata theory参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、加算、最小値、スケーリングなどの演算を用いて、文字列から数値コストへの正則関数を定義・分析するための決定的モデルとしてコストレジスタオートマトン（CRA）を導入する。minとインクリメントを備えたCRAは重み付きオートマトンと同等であり、効率的な最小コスト計算が可能であり、有限状態システムの定量的解析に関する新たな知見を提供する。

ABSTRACT

Cost register automata (CRAs) are one-way finite automata whose transitions have the side effect that a register is set to the result of applying a state-dependent semiring operation to a pair of registers. Here it is shown that CRAs over the tropical semiring (N U {infinity},\min,+) can simulate polynomial time computation, proving along the way that a naturally defined width-k circuit value problem over the tropical semiring is P-complete. Then the copyless variant of the CRA, requiring that semiring operations be applied to distinct registers, is shown no more powerful than NC^1 when the semiring is (Z,+,x) or (Gamma^*,max,concat). This relates questions left open in recent work on the complexity of CRA-computable functions to long-standing class separation conjectures in complexity theory, such as NC versus P and NC^1 versus GapNC^1.

研究の動機と目的

• 文字列から数値的コストへの正則コスト関数を定義・解析可能な決定的モデルを提供すること。
• 半環演算に制限され、非決定的であるという既存の枠組み（重み付きオートマトン）の制限を克服すること。
• 将来の割引や還金を含む、複雑なコスト行動の指定と解析のための統一的フレームワークを提供すること。
• さまざまなCRAバージョンにおける最小コスト問題の決定可能性と計算量を調査すること。
• 正則言語の理論を、消費電力や価格政策といった定量的性質へと拡張すること。

提案手法

• 有限状態制御と、コスト値を格納するための複数の書き込み専用レジスタを備えた決定的マシンとしてコストレジスタオートマトン（CRA）を提案する。
• 与えられた演算集合（例：+、min、×d）から構築された式を、文字列処理中に並列代入することでレジスタを更新する。
• 正則性を、正則な文字列から項へのトランスダクションと、与えられた解釈下での項評価の合成によって定義する。
• 木トランスダクタ理論とモノアディック第二階論理を用いて、正則コスト関数を特徴付ける。
• 古典的な最短経路法および割引コスト法を変更し、CRAモデルにおける最小コスト問題を解く。
• 表現力を高めるために、コピーレスCRAや、レジスタにコスト関数（例：線形関数）を格納するCRAの変種を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 min、インクリメント、スケーリングなどの演算をサポートし、効果的な解析が可能な決定的モデルを正則コスト関数に対して定義できるか？
• RQ2 最小コスト問題に関して、CRAと重み付きオートマトンの表現力とアルゴリズム的効率はどのように比較できるか？
• RQ3 さまざまなCRAバージョンにおける同値性や最小コスト計算といった意思決定問題の計算量は何か？
• RQ4 minとインクリメントの両方を備えたCRAにおける最小コスト問題は決定可能か？
• RQ5 CRAフレームワークは、無限文字列、木構造、時刻的または確率的システムへと拡張可能か？

主な発見

• minとインクリメント演算を備えたCRAは重み付きオートマトンと同等であり、よく知られた非決定的モデルの決定的代替手段を提供する。
• minとインクリメントを備えたCRAの最小コスト問題は多項式時間で解ける。これは古典的最短経路アルゴリズムの計算量と一致する。
• minとインクリメントを備えたコピーレスCRAは、最小コスト問題に関して依然として決定不能である。これは重要な未解決問題を示している。
• グローバル割引を備えたCRAは、レジスタ数に対して指数時間が必要であるが、将来および過去の割引は多項式時間で解ける。
• アフィンCRAの同値性チェックは効率的に可能であり、プログラム解析技術を用いて多項式時間で決定可能である。
• 本論文は、インクリメントおよびスケーリングを含むCRAにおける最小コスト問題の近似アルゴリズムや、max演算子の追加がもたらす影響といった、新たな未解決問題を同定した。