[論文レビュー] Betweenness Centrality : Algorithms and Lower Bounds

Shiva Kintali|ArXiv.org|Sep 11, 2008

Complex Network Analysis Techniques参考文献 38被引用数 55

ひとこと要約

本稿では、無向グラフにおけるバターニス・セントラリティを計算するための確率的並列アルゴリズムと代数的手法を提示し、いかなるパス比較に基づくアルゴリズムもΩ(nm)時間が必要であることを証明している。重みなしグラフではO(m)プロセッサを用いてO(n log m)時間、重み付きグラフ（整数重み∈{1,2,…,M}）ではO(Mn log m)時間で実行可能であり、下界を確立するとともに、大規模ネットワークにおける効率的計算を前進させた。

ABSTRACT

One of the most fundamental problems in large scale network analysis is to determine the importance of a particular node in a network. Betweenness centrality is the most widely used metric to measure the importance of a node in a network. In this paper, we present a randomized parallel algorithm and an algebraic method for computing betweenness centrality of all nodes in a network. We prove that any path-comparison based algorithm cannot compute betweenness in less than O(nm) time.

研究の動機と目的

• 社会的・生物学的・通信ネットワークにおける影響力を持つノードを特定するために不可欠な、大規模ネットワークにおけるバターニス・セントラリティを効率的に計算するアルゴリズムの開発。
• バターニス・セントラリティを計算するいかなるパス比較に基づくアルゴリズムに対しても理論的下界を確立し、O(nm)未満の時間で実行できないことを証明すること。
• 重みなしグラフに対して、O(m)プロセッサを用いてO(n log m)時間で依存度を計算する確率的並列アルゴリズムを設計すること。
• 整数辺重みをもつ重み付きグラフへそのアプローチを拡張し、O(Mn log m)時間の時間計算量を達成すること。
• 部分立方時間アルゴリズムの可能性と、進化するネットワークにおけるバターニス・セントラリティの動的維持の可能性を調査すること。

提案手法

• 距離がnから1へ減少する順に頂点ペアを処理する並列依存度計算戦略を用い、同じ距離にあるペアの依存度を並列に計算する。
• 各エッジが自身のプロセッサを備えるモデルを採用し、先行頂点集合と経路数に基づいて依存度値への寄与を計算する。
• Brandesの定理1.1を適用し、遠くの頂点から近い頂点の依存度を計算することで、下から上の順序での処理を可能にする。
• 重みなしグラフでは、各距離レベルで高々n/2個の互いに素なペアの並列和計算を活用し、O(m)プロセッサを用いてO(n log m)時間で実行可能である。
• 整数重み∈{1,2,…,M}の重み付きグラフでは、距離レベルを1からnMまで処理することで、O(Mn log m)時間に拡張可能である。
• 行列乗算と経路数のカウントを用いる代数的技法を適用し、重みなしグラフではO(n^ω Diam(G))時間でバターニス・セントラリティを計算可能であり、ここでω < 2.376は行列乗算指数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バターニス・セントラリティは、正確または近似的に、部分立方時間またはo(mn)時間で計算可能だろうか？
• RQ2 エッジ更新1回あたりO(n²)の amortized 時間とO(n²)の記憶領域を用いて、バターニス・セントラリティを完全に動的に維持できるアルゴリズムはあるだろうか？
• RQ3 最短経路の代わりにδストレッチ経路を用いる場合、バターニス・セントラリティの計算複雑度はどのようになるか？
• RQ4 より広範なグラフクラスにおいて、パス比較に基づく下界の予想と代数的手法の妥当性は保たれるだろうか？
• RQ5 階層的またはサンプリングに基づく戦略を用いて、依存度計算をさらに最適化できるだろうか？

主な発見

• いかなるパス比較に基づくアルゴリズムに対しても、バターニス・セントラリティの計算にはΩ(nm)時間が必要であり、このクラスのアルゴリズムに対するタイトな下界が確立された。
• 確率的並列アルゴリズムは、重みなしグラフに対してO(m)プロセッサを用いてO(n log m)時間で依存度を計算し、最適な作業量と多項式対数時間の性能を達成した。
• 整数重み∈{1,2,…,M}の重み付きグラフでは、O(m)プロセッサを用いてO(Mn log m)時間で実行可能であり、最大辺重みに比例してスケーリングされる。
• 代数的手法により、重みなしグラフではO(n^ω Diam(G))時間でバターニス・セントラリティが計算可能であり、ここでω < 2.376は行列乗算指数である。
• 対称性を正しく処理するため、最終的なセントラリティスコアを2で割ることで重複カウントを回避している。
• 本稿では、エッジの削除がバターニス値を劇的に変化させることを証明しており、C_{4k+1}サイクルの例では、セントラリティがk²から非一様分布に変化している。