[論文レビュー] Beyond Bandlimited Sampling: Nonlinearities, Smoothness and Sparsity

Yonina C. Eldar, Tomer Michaeli|ArXiv.org|Dec 16, 2008

Image and Signal Denoising Methods参考文献 60被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、帯域制限信号にとどまらない古典的サンプリング理論を拡張するために、非線形歪み、滑らかさの事前知識、スパarsity、非理想なサンプリングを扱えるヒルバート空間フレームワークを導入する。直交射影と双対基底を用いた一般化されたサンプリングと再構成手法を提案し、非帯域制限信号の完全な復元と、実用的な補間カーネルを用いた非線形性の補償を可能にする。誤差は最小限に抑えられる。

ABSTRACT

Sampling theory has benefited from a surge of research in recent years, due in part to the intense research in wavelet theory and the connections made between the two fields. In this survey we present several extensions of the Shannon theorem, that have been developed primarily in the past two decades, which treat a wide class of input signals as well as nonideal sampling and nonlinear distortions. This framework is based on viewing sampling in a broader sense of projection onto appropriate subspaces, and then choosing the subspaces to yield interesting new possibilities. For example, our results can be used to uniformly sample non-bandlimited signals, and to perfectly compensate for nonlinear effects.

研究の動機と目的

• 実世界のシステムでは信号が非帯域制限的であり、非線形性が存在し、理想的なsinc補間が不実用的であるため、シャノン＝ニキシーのサンプリングの限界を克服すること。
• 滑らかさ、スパarsity、確率的事前知識を含む古典的結果を統一的に一般化するサンプリングフレームワークを構築すること。
• サンプリングを部分空間への射影としてモデル化することで、均一サンプリングと実用的な補間カーネルを用いて非帯域制限信号の完全な再構成を可能にすること。
• アナログ・トゥ・ディジタル変換における非線形歪みを、双対基底を介して再構成プロセスに組み込むことで補償すること。
• 直交射影とミニマックス誤差基準を用いることで、ノイズに強く、非理想なサンプリング条件下でも安定した再構成手法を提供すること。

提案手法

• リース基底と斜交双対基底を用いて、非理想なサンプリングと非線形性をモデル化するヒルバート空間における射影としてサンプリングと再構成を定式化する。
• 斜交射影の概念を用いて、サンプリング演算子が非エルミート的または非線形的であっても、信号を安定して再構成できる成分に分解する。
• 滑らかさの事前知識を持つ信号に対して最悪誤差を最小化するミニマックス復元技術を導入し、不確実性下でもロバスト性を確保する。
• 事前に定義された補間カーネル（例：線形またはローパass）を用い、シフトされたカーネル関数が張る部分空間に信号を射影することで、再構成誤差を最小化する。
• 再構成レートを高める細かいグリッド補間を実装し、計算の実行可能性を保ちつつ精度を向上させる。
• 平均二乗誤差（MSE）を最小化することで、確率的信号へとフレームワークを拡張し、統計的信号モデル下での復元を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アナログ・トゥ・ディジタル変換における非線形歪みは、サンプリングと再構成フレームワーク内で完全に補償可能か？
• RQ2 実用的で有限持続時間の補間カーネルを用いて、均一サンプリングからの非帯域制限信号の完全な再構成は可能か？
• RQ3 入力信号に滑らかさまたはスパarsityの事前知識がある場合、最適な再構成戦略は何か？ また、ノイズやモデル不確実性に対してロバストに保たれるか？
• RQ4 sincカーネルが不実用的である場合、非理想なサンプリングおよび補間プロセスを用いた際の再構成誤差は、どのように最小化できるか？
• RQ5 一般化されたサンプリングフレームワークは、確率的信号および有限レートのインノベーション（finite-rate-of-innovation）モデルへどの程度拡張可能か？

主な発見

• 非線形歪みは双対基底を用いた生物的双対基底法により完全に補償可能であり、非線形性が存在しても完全な再構成が可能である。
• 信号が既知の関数的部分空間に属する限り、適切な部分空間への射影によって、非帯域制限信号は均一サンプリングから完全に再構成可能である。
• ミニマックス復元技術により、滑らかさのクラスとサンプリングレートに依存する誤差境界を有する、滑らかさの高い信号に対して最適な最悪誤差性能が達成される。
• sincの代わりに実用的な補間カーネル（例：線形またはローパス）を用いることで、再構成品質の低下はわずかに抑えられ、実システムへの実装が可能になる。
• 細かいグリッド補間により再構成精度が著しく向上し、再構成中の有効サンプリングレートが上昇する。誤差はグリッド密度の増加に従い減少する。
• このフレームワークは確率的信号へと拡張可能であり、平均二乗誤差（MSE）を最小化することで、統計的信号モデル下でも安定的かつ正確な再構成が可能になる。