[論文レビュー] Beyond formulas-as-cographs: an extension of Boolean logic to arbitrary graphs

Cameron Calk, Anupam Das+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Logic, programming, and type systems参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、古典的ブール論理のグラフ理論的拡張として、ブール関係を用いた多値意味論を用いて、任意のグラフに一般化された論理式を扱うブールグラフ論理（BGL）を導入する。BGLの計算複雑性（評価がNP完全、含意がΠ²ₚ完全）、ゲーム理論的特徴付け、およびディープインファレンス風の公理的体系を確立し、ブール論理の線形公理化に関する既知のノーゴ定理を回避することを示している。

ABSTRACT

We propose a graph-based extension of Boolean logic called Boolean Graph Logic (BGL). Construing formula trees as the cotrees of cographs, we may state semantic notions such as evaluation and entailment in purely graph-theoretic terms, whence we recover the definition of BGL. Naturally, it is conservative over usual Boolean logic. Our contributions are the following: (1) We give a natural semantics of BGL based on Boolean relations, i.e. it is a multivalued semantics, and show adequacy of this semantics for the corresponding notions of entailment. (2) We show that the complexity of evaluation is NP-complete for arbitrary graphs (as opposed to ALOGTIME-complete for formulas), while entailment is $Π^p_2$-complete (as opposed to coNP-complete for formulas). (3) We give a 'recursive' algorithm for evaluation by induction on the modular decomposition of graphs. (Though this is not polynomial-time, cf. point (2) above). (4) We characterise evaluation in a game-theoretic setting, in terms of both static and sequentical strategies, extending the classical notion of positional game forms beyond cographs. (5) We give an axiomatisation of BGL, inspired by deep-inference proof theory, and show soundness and completeness for the corresponding notions of entailment. One particular feature of the graph-theoretic setting is that it escapes certain no-go theorems such as a recent result of Das and Strassburger, that there is no linear axiomatisation of the linear fragment of Boolean logic (equivalently the multiplicative fragment of Japaridze's Computability Logic or Blass' game semantics for Mutliplicative Linear Logic).

研究の動機と目的

• cographを超えるグラフに基づくブール論理の一般化を開発し、論理式の意味論を任意のグラフに拡張すること。
• ブール関係に基づく多値意味論を提供し、古典的ブール論理よりも豊かな含意の概念を可能にすること。
• BGLにおける評価と含意の計算複雑性を分析し、標準的ブール論理と比較して複雑性が上昇することを示すこと。
• 静的および逐次戦略を用いたゲーム理論的特徴付けを、cographの制限を超えて評価を一般化すること。
• 構造的規則を避ける線形公理化の制限を受けることのない、健全かつ完全なディープインファレンス風の公理的体系を構築すること。

提案手法

• 真理値がブール関数ではなく関係的満たしを介して割り当てられる、グラフをブール関係として解釈する意味論的解釈。
• コツリー、モジュラー分解、共起構造などのグラフ理論的概念を用いて、評価と含意を定義すること。
• モジュラー分解を用いてBGL論理式を再帰的に評価するが、全体の評価はNP完全のままである。
• 位置ゲーム形式をcographを超えて一般化するため、ゲーム理論的枠組み内で静的および逐次戦略を導入すること。
• 局所的書き換えと構造的柔軟性を可能にする、ディープインファレンスにインspiredされた証明体系を設計すること。
• グラフ上で定義された意味的含意関係に関して、証明体系の健全性と完全性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブール論理は、論理式（つまりcograph）を超えて、任意のグラフに意味的に拡張可能であり、論理的構造と意味論を保ったままなのか？
• RQ2 このような一般化された論理における評価と含意の計算複雑性は何か？また、古典的ブール論理とはどのように異なるのか？
• RQ3 静的および逐次戦略を含むゲーム理論的戦略は、cographの制限を超えて、この一般化された論理における評価を特徴付けられるか？
• RQ4 線形公理化の結果の制限を受けることのない、健全かつ完全な証明体系は存在するか？
• RQ5 このフレームワークは、ブール論理の線形部分論理の非公理化可能性に関する既知のノーゴ定理を回避できるか？

主な発見

• BGLにおける評価は、古典的ブール論理の論理式における ALOGTIME 完全性とは対照的に、任意のグラフに対してNP完全である。
• BGLにおける含意は Π²ₚ 完全であり、標準的ブール論理における含意の coNP 完全性と比較して顕著な上昇である。
• 論文は、モジュラー分解に基づく再帰的評価アルゴリズムを提供するが、本質的な複雑性のため多項式時間解法にはならない。
• 静的および逐次戦略を用いたゲーム理論的評価の特徴付けが確立され、cographを超えて古典的位置ゲーム形式が一般化された。
• ディープインファレンスにインspiredされた証明体系が構築され、BGLに関して健全かつ完全であることが証明され、新たな証明論的基盤が提供された。
• BGLは、Dasと Strassburger によるブール論理の線形部分論理の非公理化可能性に関するノーゴ定理を回避しており、グラフに基づく設定において線形公理化の可能性を示唆している。