[論文レビュー] Beyond Level Planarity

Patrizio Angelini, Giordano Da Lozzo+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、サイクリック・レベル・プランラリティとトーラス・レベル・プランラリティが多項式時間で解けることを確立し、グラフ描画分野における2つの長年の未解決問題を解決した。著者らは、同時レベル・プランラリティのインスタンスをサイクリック・レベル・プランラリティ問題に還元するアプローチを導入し、特に反対方向のエッジを持つ2段階グラフの特定のケースに対して効率的なアルゴリズムを可能にした。

ABSTRACT

In this paper we settle the computational complexity of two open problems related to the extension of the notion of level planarity to surfaces different from the plane. Namely, we show that the problems of testing the existence of a level embedding of a level graph on the surface of the rolling cylinder or on the surface of the torus, respectively known by the name of $ extit{Cyclic Level Planarity}$ and $ extit{Torus Level Planarity}$, are polynomial-time solvable. Moreover, we show a complexity dichotomy for testing the $ extit{Simultaneous Level Planarity}$ of a set of level graphs, with respect to both the number of level graphs and the number of levels.

研究の動機と目的

• サイクリック・レベル・プランラリティとトーラス・レベル・プランラリティの計算複雑性を解明すること。これは、グラフ描画分野における2つの未解決問題である。
• レベル・グラフの数とレベル数に関して、同時レベル・プランラリティの複雑性の二分法を確立すること。
• 平面を超える表面へのレベル・プランラリティの概念を拡張すること。特に、ローリング・シリンダーとトーラスを対象とする。
• ローリング・シリンダーおよびトーラス表面におけるレベル埋め込みのテストのための多項式時間アルゴリズムを提供すること。
• 同じ表面に存在する複数のレベル・グラフに対する、同時レベル・プランラリティの新しい変種を導入し、その分析を行うこと。

提案手法

• 1つのグラフのエッジ方向を反転させることで、2つのグラフと2つのレベルを持つ同時レベル・プランラリティのインスタンスを、1つのサイクリック・レベル・プランラリティのインスタンスに還元する。
• 1つのグラフのエッジがレベル1から2へ、もう1つのグラフのエッジがレベル2から1へ向かうように、適切なレベル・グラフを構築し、循環的構造を形成する。
• ローリング・シリンダー表面における既存の多項式時間アルゴリズムを活用できるように、サイクリック・レベル・プランラリティへの還元を用いる。
• ローリング・シリンダー表面におけるトポロジカル埋め込み変換を通じて、同時レベル・プランラリティとサイクリック・レベル・プランラリティの同値性を証明する。
• 変換されたインスタンスに既知の線形時間アルゴリズムを適用し、多項式時間での解法が保証されることを確認する。
• 連結性が1つの追加レベルを追加することで保たれることをフレームワークを拡張して示し、幾何的および固定エッジ同時埋め込みについても同様に tractable であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローリング・シリンダー上でのレベル・プランラリティをテストする問題であるサイクリック・レベル・プランラリティは、計算的に扱いやすいか？
• RQ2 トーラス表面におけるレベル・プランラリティの変種、すなわちトーラス・レベル・プランラリティは、多項式時間で決定可能か？
• RQ3 レベル・グラフの数とレベル数をパrameterとしてパrameter化した場合、同時レベル・プランラリティの計算複雑性は何か？
• RQ4 特にレベル間を反対方向にエッジが流れる場合に、2段階グラフの同時レベル・プランラリティは効率的に解けるか？
• RQ5 genus が1より大きい表面へのレベル・プランラリティの意味のある一般化は可能か？ そして、そのようなフレームワークをどのように形式化できるか？

主な発見

• サイクリック・レベル・プランラリティは多項式時間で解けることが示され、グラフ描画分野における長年の未解決問題が解決された。
• トーラス・レベル・プランラリティについても多項式時間で解けることが示され、レベル・プランラリティがトーラス表面へも効率的に拡張可能であることが立証された。
• 2つのグラフと2つのレベルを持つ同時レベル・プランラリティをサイクリック・レベル・プランラリティに還元することで、2次時間のアルゴリズムが得られた。
• 同時レベル・プランラリティ問題は、複雑性の二分法を示す：レベル数またはグラフ数が有界であれば多項式時間で解けるが、そうでなければ NP 困難である。
• 提案された還元は、1つの追加レベルを追加することで連結性を保つことができ、幾何的および固定エッジ同時埋め込みへも拡張可能である。
• これらの結果から、ローリング・シリンダーおよびトーラス上でのレベル・プランラリティのテストが四次時間で可能であることが示唆されるが、より緊密な上限は未解決の課題のままである。