[論文レビュー] Beyond Pairwise Comparisons in Social Choice: A Setwise Kemeny Aggregation Problem

Hugo Gilbert, Tom Portoleau+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、サイズが最大kの代替案のすべての部分集合における上位選択肢の不一致を最小化する共通順序順位付けを求める、Kemenyルールのk-wise一般化を提案する。実用的性能が理論的最悪ケースよりも著しく優れている2-近似アルゴリズムを提示し、最大18人の候補者に対して効率的な前処理と正確な計算を可能にするk-wiseマジョリティグラフを構築する。

ABSTRACT

In this paper, we advocate the use of setwise contests for aggregating a set of input rankings into an output ranking. We propose a generalization of the Kemeny rule where one minimizes the number of k-wise disagreements instead of pairwise disagreements (one counts 1 disagreement each time the top choice in a subset of alternatives of cardinality at most k differs between an input ranking and the output ranking). After an algorithmic study of this k-wise Kemeny aggregation problem, we introduce a k-wise counterpart of the majority graph. This graph reveals useful to divide the aggregation problem into several sub-problems, which enables to speed up the exact computation of a consensus ranking. By introducing a k-wise counterpart of the Spearman distance, we also provide a 2-approximation algorithm for the k-wise Kemeny aggregation problem. We conclude with numerical tests.

研究の動機と目的

• 二項比較に基づく順位集約ルールの限界、すなわち二項比較を超える集団的好みを捉えることができない点を是正すること。
• 候補者の部分集合における得票数（多数派得票）に基づく、集合的対決に基づく新しい社会的福祉関数のクラスを形式化すること。
• Kemenyルールをk-wise不一致に一般化し、二項比較を超えるより洗練された共通順序順位付けを可能にすること。
• k-ise Kemeny共通順序順位付けの正確および近似計算のための効率的アルゴリズムを開発すること。
• 提案された2-近似アルゴリズムの実用的性能と、kおよび好みの相関性との関係を評価すること。

提案手法

• サイズが最大kの部分集合Sにおいて、入力順位と出力順位の上位選択肢が異なる回数をk-ise不一致回数として定義する。
• サイズ≤kの部分集合における候補者の相対的多数支持を表すエッジを有する、k-ise変種のマジョリティグラフを導入する。
• k-iseマジョリティグラフを前処理に活用し、動的計画法を用いてk-ise Kemenyスコアを正確に計算する手法を開発する。
• k-iseバージョンのSpearmanフットルール距離を最小化する基盤となる2-近似アルゴリズムを提案する。
• Diaconis-Graham不等式を用いて、理論的最悪ケース近似比が2であることを導出する。
• 効率性を高めるためにSciPyの線形和割り当てを用い、Mallowsモデルに基づく合成データ上でアルゴリズムを実装および評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二項比較を超える集団的好みを捉えるために、Kemenyルールのk-ise一般化が共通順序順位付けを改善できるか？
• RQ2 k ≥3の場合に、k-ise Kemenyルールにおける共通順序順位付けの計算複雑度はいかほどか？
• RQ3 k-iseマジョリティグラフはどのように構築され、k-ise Kemeny共通順序順位付けの正確計算を効率化するためにどのように利用できるか？
• RQ4 提案された2-近似アルゴリズムの実用的近似比はどの程度で、kおよび好みの相関性にどのように依存するか？
• RQ5 実世界の好みプロファイルの例で示されるように、k-ise KemenyルールはCondorcet整合性と多数支持の間の矛盾を解消できるか？

主な発見

• k-ise Kemeny集約問題は、k ≥3の任意のkに対してNP困難であることが示され、標準Kemenyルールの既知の困難性を拡張する。
• 提案された2-近似アルゴリズムは、k-iseバージョンのSpearman距離とDiaconis-Graham不等式に基づき、最悪ケース近似比が2であることを保証する。
• 実際の性能は2よりも著しく優れており、50件のテストインスタンスにおいて観測された最悪の近似比は1.04にとどまる。
• 好みの相関性が高い（Mallowsモデルのφが低い）場合およびkが大きい場合、性能が向上することが、近似比のボックスプロットから明らかになった。
• 標準ライブラリを用いた50人の投票者と12人の候補者に対して、12ミリ秒未満で実行可能であり、実用的な効率性が顕著に示された。
• k-iseマジョリティグラフは効果的な前処理を可能にし、探索空間を削減することで、最大18人の候補者に対する正確計算を可能にした。