[論文レビュー] Beyond the Kähler cone

David R. Morrison|ArXiv.org|Jul 14, 1994

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、Calabi–Yau 3-fold のケーラー錐を超えて、双有理的モデルを含む非線形σ模型のモジュライ空間を拡張する解析接続プロセスを導入する。その結果、複素化された可動錐が明らかになる。主な貢献は、双有理自己同型を介してこれらのモデルを結ぶ物理的かつ幾何的枠組みを提供することであり、ミラー対称性や量子場理論のモジュライ空間の構造に影響を与える。

ABSTRACT

The moduli space of nonlinear $σ$-models on a Calabi--Yau manifold contains a complexification of the Kähler cone of the manifold. We describe a physically natural analytic continuation process which links the complexified Kähler cones of birationally equivalent Calabi--Yau manifolds. The enlarged moduli space includes a complexification of Kawamata's ``movable cone''. We formulate a natural conjecture about the action of the birational automorphism group on this cone. (Based in part on joint work with Paul Aspinwall and Brian Greene; submitted to the proceedings of ``Hirzebruch's 65th birthday workshop in algebraic geometry''.)

研究の動機と目的

• Calabi–Yau 3-fold のすべての双有理的モデルを含むように、非線形σ模型のモジュライ空間をケーラー錐を超えて一般化すること。
• 異なる双有理的 Calabi–Yau 多様体上のσ模型を結ぶ物理的かつ幾何的メカニズム（解析接続）を定式化すること。
• 複素化された可動錐を、この拡張されたモジュライ空間の自然な境界として同定すること。
• 双有理自己同型群が可動錐上でどのように作用するかを予想し、ケーラー錐の振る舞いを一般化すること。
• ケーラーモジュライ空間内の反射とチャネル構造を用いて、可動錐を超えてさらなる拡張が可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 微分同相型とコhomology同値性の下でのペア (g_ij, B) の商として、1ループ半古典的非線形σ模型のモジュライ空間を定義する。ここで g_ij は SU(n)-ホロノミーを持ち、B は閉じた2形式である。
• ケーラー錐の複素化をモジュライ空間の基底とし、双有理的モデルを含むように解析接続によって拡張する。
• 双有理的錐予想が成り立つ場合、Looijenga の半トーリックコンパクト化を用いてモジュライ空間の部分的コンパクト化を構成する。
• Witten のトーリック超曲面上の物理的理論の定式化を用い、可動錐を超えた解析接続を分析する。
• 除法的収縮（例：E → C で E·Γ = -2）に関連するコhomologicalな反射を導入し、反射された可動錐へモジュライ空間を拡張する。
• すべての双有理的モデルの和集合として、完全な双有理的σ模型モジュライ空間を構成する：M_{N=2}^{birat} = ⋃_{t∈M_complex} Γ_t^{birat}\D_t^{birat}。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形σ模型のモジュライ空間は、Calabi–Yau 3-fold のケーラー錐を超えてどのように拡張可能か？
• RQ2 同じ Calabi–Yau 多様体の異なる双有理的モデル上の物理的理論を結ぶ際、双有理自己同型は果たす役割は何か？
• RQ3 可動錐は、すべての双有理的モデルの物理的モジュライ空間として自然に解釈可能か？また、ケーラー錐とはどのように関係するか？
• RQ4 特に除法的収縮に関連する壁を越えた解析接続の幾何的・物理的意義は何か？
• RQ5 任意の Calabi–Yau 3-fold に対して、反射された可動錐を超えてσ模型の完全な解析接続を記述する一般枠組みは存在するか？

主な発見

• 物理的動機付けに基づく解析接続プロセスにより、非線形σ模型のモジュライ空間は、Calabi–Yau 3-fold のすべての双有理的モデルを含むように拡張可能である。
• 複素化された可動錐は、双有理的σ模型の完全なモジュライ空間の自然な定義域として同定され、ケーラー錐の一般化である。
• 双有理自己同型群が可動錐上で有限の像を持つという予想が提示され、双有理的モデル上での有限作用の一般化を示している。
• 除法的収縮（例：E → C で E·Γ = -2）に関連する反射は、コhomologicalな対称性を誘発し、反射された可動錐への解析接続を可能にする。
• トーリック多様体上の超曲面として実現可能な Calabi–Yau 3-fold に対しては、ケーラー・モジュライ空間の完全な解析接続が、元のケーラー錐および可動錐をはるかに超える広大なチャネル構造を明らかにする。
• Aモデルの3点関数は、商空間 Γ_t^{birat}\D_t^{birat} 内に極を示し、滑らかな物理的理論を記述するにはこれらの点を除去する必要があるが、コンパクト化の目的では保持すべきである。