[論文レビュー] Beyond VaR and CVaR: Topological Risk Measures in Financial Markets

Amit Kumar Jha|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、トポロジカルデータ解析における恒常ホモロジーを用いて、ストレス状態下での市場トポロジーの変化を定量化する新しいリスク指標であるトポロジカルVaR距離（TVaRD）を提案する。アップル、マイクロソフト、グーグルの1年間の日次リターンに適用したところ、TVaRDは価格時系列のトポロジカル構造に顕著なシフトを検出しており、特にMSFT（TVaRD = 1006.00）で顕著である。これは、従来のVaRやCVaRに加えて、多スケールのポートフォリオリスクの視覚的側面を提供する。

ABSTRACT

This paper introduces a novel approach to financial risk assessment by incorporating topological data analysis (TDA), specifically cohomology groups, into the evaluation of equities portfolios. The study aims to go beyond traditional risk measures like Value at Risk (VaR) and Conditional Value at Risk (CVaR), offering a more nuanced understanding of market complexities. Using last one year daily real-world closing price return data for three equities Apple, Microsoft and Google , we developed a new topological riskmeasure, termed Topological VaR Distance (TVaRD). Preliminary results indicate a significant change in the density of the point cloud representing the financial time series during stress conditions, suggesting that TVaRD may offer additional insights into portfolio risk and has the potential to complement existing risk management tools.

研究の動機と目的

• 従来のリスク測度（VaRやCVaR）が正規性などの制限付き仮定に依存し、ストレス状態下での複雑な市場ダイナミクスを捉えられないという限界を是正すること。
• トポロジカルデータ解析（TDA）のうち、コホモロジー群と恒常ホモロジーを活用することで、金融時系列における構造的変化を検出する新しいリスク評価フレームワークの構築すること。
• ベースライン状態とストレス状態の間のトポロジカルな乖離を定量化する新しい指標、トポロジカルVaR距離（TVaRD）の導入と検証すること。
• TVaRDが、統計的測度だけでは見えない多スケールのトポロジカル特徴のシフトを検出できることにより、市場不安定化の早期予兆を提供することを実証すること。

提案手法

• 本研究では、ヤフーフィナンスから入手した、アップル、マイクロソフト、グーグルの1年間の日次終値（252観測値）を用いる。
• データは[0,1]に正規化され、時系列解析用に日次リターンが計算される。
• 恒常ホモロジーを用いて、スケールにわたるトポロジカル特徴（連結成分、ループ、空間的空洞）を表すパーシステンス図が構築される。
• TVaRDは、ベースライン状態とストレス状態からのパーシステンス図間のユークリッド距離として計算され、トポロジカル変化を定量化する。
• パーシステントホモロジー計算のフィルトレーションを定義するため、Rips複体構築法を用い、パラメータϵ1とϵ2を用いる。
• ストレス下での構造的シフトを分析するため、1次元のループ（青点）や短命な高次元特徴（緑点）といったトポロジカル特徴が分析される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルデータ解析は、正規性仮定に依存する従来の統計的リスク測度（VaRやCVaR）よりも、市場ストレス状態をより効果的に検出できるか？
• RQ2 金融時系列のトポロジカル特徴（連結成分、ループ、空間的空洞）は、安定状態と比較して、市場ストレス状態下でどのように変化するか？
• RQ3 トポロジカルVaR距離（TVaRD）は、標準的リスク指標では捉えきれない極端な市場動向と、どの程度相関関係にあり、またはそれを先取りするか？
• RQ4 コホモロジーに基づくトポロジカル特徴は、株式ポートフォリオにおけるシステミックリスクの早期予兆として機能できるか？

主な発見

• TVaRDは、ストレス状態下でマイクロソフト（MSFT）に顕著なトポロジカルシフトを検出しており、TVaRD値は1006.00に達し、市場構造の顕著な変化を示している。
• アップル（AAPL）はTVaRDが469.27を示し、MSFTと比較して顕著ではあるが、やや弱いトポロジカル変化を示している。
• グーグル（GOOGL）はTVaRDが402.48を示し、ストレス下で測定可能なトポロジカル再構成が見られたが、MSFTほど顕著ではなかった。
• パーシステンス図から、ストレス状態下では1次元特徴（ループ）の密度が高く、一時的な高次元特徴（空間的空洞）の数も増加していることが明らかになった。これは、複雑で一時的な市場ダイナミクスを示している。
• 結果として、TVaRDは従来のリスク測度（VaRやCVaR）が捉えきれない多スケールで非線形な市場行動を捉えられることを示している。
• TVaRDは、市場トポロジーの構造的変化を定量化するという点で、リスク管理における補完的視点を提供し、システミックリスクの早期予兆としての可能性を秘めている。