[論文レビュー] Beyond Worst-case: A Probabilistic Analysis of Affine Policies in Dynamic Optimization

Omar El Housni, Vineet Goyal|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2017

Risk and Portfolio Optimization参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2段階動的ロバスト最適化におけるアフィン方策の確率的分析を提供し、確率的不確実性分布のもとで、最悪ケースの $O(\bigsqrt{m})$ 界よりも著しく良い近似界を達成するアフィン方策が近似的に最適性能を達成することを示している。主な貢献は、ランダムなインスタンスにおいてアフィン方策の経験的に観察された優れた性能を理論的に裏付けるものであり、一様分布および折りたたみ正規分布を用いた実験によって検証されている。

ABSTRACT

Affine policies (or control) are widely used as a solution approach in dynamic optimization where computing an optimal adjustable solution is usually intractable. While the worst case performance of affine policies can be significantly bad, the empirical performance is observed to be near-optimal for a large class of problem instances. For instance, in the two-stage dynamic robust optimization problem with linear covering constraints and uncertain right hand side, the worst-case approximation bound for affine policies is $O(\sqrt m)$ that is also tight (see Bertsimas and Goyal (2012)), whereas observed empirical performance is near-optimal. In this paper, we aim to address this stark-contrast between the worst-case and the empirical performance of affine policies. In particular, we show that with high probability affine policies give a good approximation for two-stage dynamic robust optimization problems on random instances generated from a large class of distributions; thereby, providing a theoretical justification of the observed empirical performance. The approximation bound depends on the distribution, but it is significantly better than the worst-case bound for a large class of distributions.

研究の動機と目的

• 動的ロバスト最適化におけるアフィン方策の、悪い最悪ケース性能境界と優れた経験的性能の間の乖離を解消すること。
• 最悪ケースの敵対的設定ではなく、確率的不確実性分布のもとでのアフィン方策の近似品質を分析すること。
• 計算実験で観察されたアフィン方策の近似的に最適な経験的性能を理論的に裏付けること。
• 広範な分布クラスに対して、最悪ケースの $O(\bigsqrt{m})$ 界よりも著しくタイトな分布依存の近似界を導出すること。
• 一様分布および折りたたみ正規分布を用いた計算実験を通じて、理論的発見を検証すること。

提案手法

• コンパクトな凸不確実性集合 $\mathcal{U}$ における線形被覆制約と不確実な右辺項を有する2段階調整可能ロバスト最適化問題を定式化する。
• 2段階意思決定を不確実パラメータの線形関数として定義するアフィン方策を分析し、計算の効率性を実現する。
• 不確実性ベクトル $\boldsymbol{h}$ が一様分布および折りたたみ正規分布を含む広範な分布クラスから抽出されると仮定し、確率的近似界を導出する。
• 双対性と線形プログラミングの再定式化を用いて、アフィン方策の最適調整可能解に対する性能を分析する。
• 小規模なインスタンスにおける最適調整可能解を計算するために混合整数プログラミング（MIP）定式化を用い、アフィン方策との比較を可能にする。
• MIP定式化における二乗項を処理するためにデジタル線形化技術を適用し、標準ソルバを用いて正確な解を得ることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不確実性が敵対的ではなく確率的分布から抽出される場合、アフィン方策は最悪ケースより優れた近似性能を達成できるか？
• RQ2 アフィン方策の近似界は、不確実パラメータの背後にある分布にどのように依存するか？
• RQ3 ランダムインスタンスにおけるアフィン方策の経験的性能は、理論的最悪ケース界をどれほど上回るか？
• RQ4 ランダムインスタンスにおいて、最適調整可能解を計算するのとアフィン方策を使用するのとの間の計算的トレードオフはいかほどか？
• RQ5 特定の分布的仮定のもとで、アフィン方策が高確率で近似的に最適であることが証明可能か？

主な発見

• i.i.d. 一様乱数インスタンスでは、理論的最悪ケース界が2-近似（補題2.2）であるが、経験的結果では平均で1%の最適性ギャップを示し、これにより近似比は1.04未満に抑えられる。
• 正規分布および折りたたみ正規分布では、理論的界が $O(\sqrt{\log(mn)})$ であるが、経験的性能は依然として強く、平均ギャップは4%未満である。
• アフィン方策は効率的にスケーリングされ、$m = 50$ に対しても平均で15秒未満の計算時間で実行可能であるが、$m \geq 40$ の場合、最適調整可能解は3時間の時間制限内で計算不能であった。
• MIPを用いて最適調整可能解は小規模インスタンス（$m \leq 30$）でのみ計算可能であったが、アフィン方策は実際のところ最悪ケース理論界を常に上回る性能を示した。
• 全テスト分布において、最大比 $z_{\text{Aff}}/z_{\text{AR}}$ は1.04未満に保たれ、多様なランダムインスタンスにおいて一貫した近似的に最適な性能を示している。
• 結果は、アフィン方策が計算的に実行可能であるだけでなく、広範な確率的分布クラスにおいて高確率で近似的に最適であることが理論的に保証されており、その経験的成功を説明している。