[論文レビュー] BF Description of Higher-Dimensional Gravity Theories

Laurent Freidel, Kirill Krasnov+1 more|ArXiv.org|Jan 17, 1999

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、重力を高次元に拡張したBF形式の一般化を提示し、任意の次元におけるアインシュタイン重力が、B場に二次的制約を課した制約付きBF理論として記述可能であることを示している。量子化された制約が、すべての次元で一様な構造を持つ単純な表現およびインバリエント（intertwiner）を生じることを示しており、3次元および4次元の場合と同様に一貫したスピン泡沫（spin foam）量子化が可能である。

ABSTRACT

It is well known that, in the first-order formalism, pure three-dimensional gravity is just the BF theory. Similarly, four-dimensional general relativity can be formulated as BF theory with an additional constraint term added to the Lagrangian. In this paper we show that the same is true also for higher-dimensional Einstein gravity: in any dimension gravity can be described as a constrained BF theory. Moreover, in any dimension these constraints are quadratic in the B field. After describing in details the structure of these constraints, we scketch the ``spin foam'' quantization of these theories, which proves to be quite similar to the spin foam quantization of general relativity in three and four dimensions. In particular, in any dimension, we solve the quantum constraints and find the so-called simple representations and intertwiners. These exhibit a simple and beautiful structure that is common to all dimensions.

研究の動機と目的

• 3次元および4次元を超えて、任意の時空次元に一般化された重力のBF形式を展開すること。
• 高次元におけるBF理論をアインシュタイン重力に還元する、特定の制約を同定すること。
• 高次元重力理論のスピン泡沫量子化フレームワークを構築すること。
• 量子化された制約が、次元に依存しない危単な表現およびインバリエントを生じることを示すこと。

提案手法

• 接続とB場を用いた第一順位形式で高次元重力を定式化すること。
• BF理論をアインシュタイン重力に還元するB場への二次的制約を導入すること。
• 微分形式を用い、D次元におけるローレンツ型計量符号を用いて制約構造を導出すること。
• 制約付きBF作用に基づくスピン泡沫振幅を用いて量子理論を構築すること。
• 量子化された制約を解き、任意の次元における「単純な」表現およびインバリエントを同定すること。
• 得られたインバリエントが、時空次元に依存しない一様で洗練された構造を持つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D次元におけるアインシュタイン重力は、系の制約構造を持つ制約付きBF理論として定式化可能か？
• RQ2 高次元におけるBF理論を一般相対性理論に還元する制約の形式は何か？
• RQ3 高次元BF理論における量子化された制約はどのように振る舞い、どのような表現を選択するか？
• RQ4 高次元重力のスピン泡沫振幅は、3次元および4次元の場合と構造的に類似性を示すか？
• RQ5 量子理論におけるインバリエントに、普遍的で次元に依存しない構造があるか？

主な発見

• 高次元におけるアインシュタイン重力は、B場に二次的制約を課したBF理論と等価である。
• 制約は明示的に導出され、任意の次元で一般相対性理論を回復するのに必要かつ十分であることが示された。
• 量子化された制約は、すべての次元にわたって普遍的な「単純な」表現を選択する。
• 量子理論におけるインバリエントは、時空次元に依存しない一様で洗練された構造を持つ。
• スピン泡沫量子化手順は、任意の次元に直接一般化可能であり、一貫性のある振幅を持つ。
• この枠組みにより、制約付きBF理論を用いて、すべての次元における重力の統一的記述が可能である。