[論文レビュー] Bi-Arc Digraphs and Conservative Polymorphisms

Pavol Hell, Arash Rafiey+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、区間グラフの広範な一般化として二弧有向グラフを導入し、それらの多項式時間認識アルゴリズムを提供する。二弧有向グラフは、保存的半畳み多様体の多様体を許容する有向グラフであることが示され、禁止された障害による特徴付けが与えられ、長年の未解決であったこのクラスの認識問題が解決される。主な貢献は、保存的半畳み多様体の多様体を許容する関係構造の認識の複雑さに関する完全な二分類を提供することであり、関係が唯一の二項関係を除きすべて一項である場合にのみ、問題が多項式時間で解けることを示している。

ABSTRACT

In this paper we study the class of bi-arc digraphs, important from two seemingly unrelated perspectives. On the one hand, they are precisely the digraphs that admit certain polymorphisms of interest in the study of constraint satisfaction problems; on the other hand, they are a very broad generalization of interval graphs. Bi-arc digraphs is the class of digraphs that admit conservative semilattice polymorphisms. There is much interest in understanding structures that admit particular types of polymorphisms, and especially in their recognition algorithms. (Such problems are referred to as metaproblems.) Surprisingly, the class of bi-arc digraphs also describes the class of digraphs that admit certain other kinds of conservative polymorphisms. Thus solving the recognition problem for bi-arc digraphs solves the metaproblem for digraphs for several types of conservative polymorphisms. The complexity of the recognition problem for digraphs with conservative semilattice polymorphisms was an open problem, while it was known to be NP-complete for certain more complex relational structures. We complement our result by providing a complete dichotomy classification of which general relational structures have polynomial or NP-complete recognition problems for the existence of conservative semilattice polymorphisms. Bi-arc digraphs also generalizes the class of interval graphs; in fact it reduces to the class of interval graphs for symmetric and reflexive digraphs. It is much broader than interval graphs and includes other generalizations of interval graphs such as co-threshold tolerance graphs and adjusted interval digraphs. Yet, it is still a reasonable extension of interval graphs, in the sense that it keeps much of the appeal of interval graphs. Our main result is a forbidden obstruction characterization of, and a polynomial recognition for, the class of bi-arc digraphs.

研究の動機と目的

• 保存的半畳み多様体の多様体を許容する有向グラフのクラスを特徴づける。
• 二弧有向グラフの禁止障害による特徴付けと多項式時間認識アルゴリズムを提供する。
• 関係構造における保存的半畳み多様体の多様体の存在の認識問題の複雑さを解明する。
• 区間グラフ、共閾値許容グラフ、調整付き区間有向グラフといった既知のクラスを統一的かつ一般化する枠組みに統合する。
• 保存的半畳み多様体の多様体を許容する構造の認識の複雑さに関する二分類を確立する。

提案手法

• 順序付き頂点対の構造的制約を分析するために、ペア有向グラフ構成を用いる。
• 補助的構造 H+ におけるウォークとサイクルを研究し、障害を検出するための H+ の概念を導入する。
• 二段階のアルゴリズムを採用する：まずアーク制約に基づいて潜在的な最小順序を特定し、次に整合性チェックによってそれを精錬する。
• 多様体に最小順序の挙動を強制するために変換を適用し、結合的および保存的性質を保証する。
• 三項関係から高次元関係への還元を適用し、3より大きい arity の場合に NP-完全性を示す。
• 四元同値および四元制限ウォークに基づく禁止構造の特徴付けを用いて障害を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフが保存的半畳み多様体の多様体を許容しない原因となる完全な障害の集合は何か？
• RQ2 保存的半畳み多様体の多様体を許容する有向グラフの認識問題は多項式時間で解けるか？
• RQ3 二弧有向グラフは、区間グラフや共閾値許容グラフといった既知のグラフクラスとどのように関係しているか？
• RQ4 どの関係構造に対して、保存的半畳み多様体の多様体の存在が多項式時間で決定可能か？
• RQ5 保存的半畳み多様体の多様体を許容する高次元関係構造の認識の複雑さは何か？

主な発見

• 二弧有向グラフのクラスは、まさに保存的半畳み多様体の多様体を許容する有向グラフの集合に一致する。
• H+ におけるウォークとサイクルの分析に基づく二段階アプローチを用いた、二弧有向グラフの多項式時間認識アルゴリズムが提供される。
• 保存的半畳み多様体の多様体の認識問題は、すべての関係が一項関係であるか、たった一つの二項関係を除いてすべて一項関係である場合に限り、多項式時間で解ける。
• arity が3より大きい関係構造については、認識問題が NP-完全である。
• すべての arity に対して保存的巡回的または完全対称的多様体を許容する有向グラフのクラスは、二弧有向グラフのクラスに一致する。
• 本論文は完全な二分類を提供する：保存的半畳み多様体の多様体を許容する構造の認識問題は、すべての関係が一項関係であるか、たった一つの二項関係を除いてすべて一項関係である場合に限り多項式時間で解けるが、それ以外の場合は NP-完全である。