[論文レビュー] Bi-capacities -- Part I: definition, Möbius transform and interaction

Michel Grabisch, Christophe Labreuche|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2007

Multi-Criteria Decision Making参考文献 20被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、基準が正、負、または中立の評価をとる可能性がある双極的意思決定文脈におけるファジィ測度の一般化として、バイキャパシティを導入する。協力ゲーム理論を用いて、バイキャパシティのモビウス変換および相互作用インデックスを確立し、累積的プロスペクティブ理論やk-加法的構造のようなモデルにおける意思決定者の行動分析を可能にする。

ABSTRACT

Bi-capacities arise as a natural generalization of capacities (or fuzzy measures) in a context of decision making where underlying scales are bipolar. They are able to capture a wide variety of decision behaviours, encompassing models such as Cumulative Prospect Theory (CPT). The aim of this paper in two parts is to present the machinery behind bi-capacities, and thus remains on a rather theoretical level, although some parts are firmly rooted in decision theory, notably cooperative game theory. The present first part is devoted to the introduction of bi-capacities and the structure on which they are defined. We define the Möbius transform of bi-capacities, by just applying the well known theory of M\" obius functions as established by Rota to the particular case of bi-capacities. Then, we introduce derivatives of bi-capacities, by analogy with what was done for pseudo-Boolean functions (another view of capacities and set functions), and this is the key point to introduce the Shapley value and the interaction index for bi-capacities. This is done in a cooperative game theoretic perspective. In summary, all familiar notions used for fuzzy measures are available in this more general framework.

研究の動機と目的

• 負から正までのスケールで評価が可能な双極的尺度における意思決定のためのキャパシティの一般化としてバイキャパシティを形式化すること。
• ファジィ測度理論の主要な道具であるモビウス変換および相互作用インデックスを、バイキャパシティ枠組みに拡張すること。
• 累積的プロスペクティブ理論の範囲を超えた意思決定行動の理論的基盤を提供すること。
• 相互作用インデックスおよびモビウス変換を用いて、k-加法的およびCPT型バイキャパシティを定義および特徴づけること。
• 協力ゲーム理論的枠組みにおいて、シャープリー値に類似した値および相互作用インデックスを通じて意思決定者の好みの解釈を可能にすること。

提案手法

• バイキャパシティを、完全に満たされた基準集合Sと完全に満たされない基準集合Tのペア(S,T)に値を割り当てる集合関数v: 2^N × 2^N → [-1,1]として定義する。
• ロータのモビウス逆転を適用して、バイキャパシティのモビウス変換m(S,T)を導出し、基本的構成要素への分解を可能にする。
• モビウス変換の線形変換として相互作用インデックスI^v(S,T)を導入し、シャープリー値をバイキャパシティに一般化する。
• 相互作用インデックスを用いて、集合(S,T)が全体の意思決定結果に与える寄与度を分析し、二項係数を含む閉形式の式を得る。
• モビウス変換および相互作用インデックスに関する条件を導出して、特別なクラスのバイキャパシティ（k-加法的およびCPT型）を特徴づける。
• バイキャパシティと古典的キャパシティの間の正式な類似性を確立し、特定の構造的仮定の下でバイキャパシティの相互作用インデックスが古典的インデックスに還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファジィ測度は、基準が正、負、または中立の評価をとる双極的スケールにおける意思決定をモデル化するために、どのように一般化可能か？
• RQ2 バイキャパシティに適したモビウス変換とは何か？ そして、キャパシティの古典的モビウス変換をどのように一般化するか？
• RQ3 シャープリー値および相互作用インデックスは、どのようにバイキャパシティに拡張可能か？ これにより、基準の連合の寄与度がどのように解釈可能になるか？
• RQ4 モビウス変換および相互作用インデックスの観点から、k-加法的およびCPT型バイキャパシティの構造的性質は何か？
• RQ5 バイキャパシティの相互作用インデックスは、どのようにして古典的キャパシティの相互作用インデックスを一般化するか？

主な発見

• バイキャパシティのモビウス変換は、ロータの理論に基づき定義され、二項係数および集合包含制約を含む閉形式の式で表される。
• 相互作用インデックスI^v(S,T)は、モビウス変換の線形変換として導出され、(S,T)の上位集合および下位集合への和を含む式で表される。
• k-加法的バイキャパシティでは、|T| < n−kのときには相互作用インデックスI^v(S,T)が0となり、|T| = n−kのときにはモビウス値m(S,T)に等しくなる。
• CPT型バイキャパシティでは、I^v(S,T)が非ゼロとなるのはS=∅またはT=∅の場合に限る。これは、正の部分と負の部分の間の独立性を反映している。
• v(S,T) = ν₁(S) − ν₂(T)のとき、相互作用インデックスI^v(S,∅)は古典的相互作用インデックスI^{ν₁}(S)に等しくなり、I^v(∅,T)はI^{ar{ν}_2}(T)に等しくなる。これにより、バイキャパシティと古典的ファジィ測度が結びつけられる。
• 基盤となるキャパシティνを持つ対称バイキャパシティでは、相互作用インデックスがI^v(S,∅) = I^ν(S)およびI^v(∅,T) = (−1)^{t+1} I^ν(T)を満たし、負の部分に対して符号反転が生じることを示す。