[論文レビュー] Bi-Hamiltonian ODEs with matrix variables

Alexander Odesskii, Vladimir Rubtsov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、互いに適合する線形および二次の非アーベルヤンポアソン括弧を用いて、行列変数をもつ双ハミルトニアン系のクラスを導入する。任意のN個の行列に対するマナコフの行列系を一般化した可積分な階層を構成し、再帰作用素とカシミール関数を用いて可積分性を証明する。トレース多項式およびスペクトル不変量から明示的なハミルトニアン系の流れが導出される。

ABSTRACT

We consider a special class of linear and quadratic Poisson brackets related to ODE systems with matrix variables. We investigate general properties of such brackets, present an example of a compatible pair of quadratic and linear brackets and found the corresponding hierarchy of integrable models, which generalizes the two-component Manakov's matrix system in the case of arbitrary number of matrices.

研究の動機と目的

• 互いに適合するポアソン括弧を用いて、行列変数をもつ双ハミルトニアン系の体系的枠組みを構築すること。
• 非アーベルヤンポアソン構造を用いて、マナコフの二成分行列系を任意の数Nの行列へ一般化すること。
• カシミール関数から導かれる可換なハミルトニアンの存在により、得られるODE系の可積分性を確立すること。
• GLm作用に関して不変である行列空間上の二次ヤンポアソン括弧の代数的・幾何的構造を解明すること。
• 量子化、動的ヤン・バクスター方程式、非可換シンプレクティック幾何学に関する今後の研究の基盤を築くこと。

提案手法

• 構造定数 $ b^{ ho}_{eta au} $, $ r^{ ho au}_{eta au} $, および $ a^{ ho au}_{eta au} $ を用いて、行列変数上に線形および二次ヤンポアソン括弧を構成し、特定の代数的恒等式を満たす。
• GLm-随伴作用に関して不変であり、トレース括弧に関して閉じていることを課し、非アーベルヤンポアソン構造を定義する。
• 双ハミルトニアン定理を適用：二つの括弧が適合するならば、その $ au $-線形結合はすべての $ au $ に対してヤンポアソン括弧をなす。これにより、可積分階層が構成可能となる。
• 非退化な線形括弧から再帰作用素 $ R = ilde{ abla}_2 abla_1^{-1} $ を用いて、無限個の適合するヤンポアソン構造を生成する。
• トレース多項式 $ ext{tr}(x_eta^k) $, $ ext{tr}(x_eta^k rac{x_eta}{ u_eta - u_ au}) $, および $ rac{1}{2} ext{tr}(x_eta^2)/ u_eta $ を用いてカシミール関数を特定し、可換なハミルトニアンを導出する。
• 二次ヤンポアソン括弧を用いてハミルトニアンから明示的なODEの流れを導出する。例えば $ eta < N $ に対して $ rac{dx_eta}{dt} = rac{x_N x_eta - x_eta x_N}{ u_N - u_eta} $ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列変数上の線形および二次の非アーベルヤンポアソン括弧が適合するための条件は何か？
• RQ2 行列値動的変数をもつ適合するヤンポアソン括弧のペアから、ODEの可積分階層をどのように構成できるか？
• RQ3 このようなヤンポアソン括弧のカシミール関数の構造は何か？ そして、それらが可換なハミルトニアンをどのように生成するか？
• RQ4 一般化された系は $ N = 2 $ のときマナコフの行列系にどのように還元されるか？
• RQ5 GLm-不変性およびトレース閉じ性は、非アーベルヤンポアソン括弧のクラスを特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、構造定数 $ b^{ ho}_{eta au} $, $ r^{ ho au}_{eta au} $, および $ a^{ ho au}_{eta au} $ を用いて、行列変数上の適合する線形および二次の非アーベルヤンポアソン括弧が、特定の代数的恒等式によって特徴づけられることを確立した。特に $ b^{ ho}_{eta au} $ は結合的代数をなす。
• 例として $ r_{eta au}^{eta au} = 1/( u_eta - u_ au) $ を採用した場合、すべてのベクトル $ ( u_1, ..., u_N) $ が許容可能であり、和 $ ext{tr}( extstyleigsum_{eta=1}^N x_eta) $ は両括弧に対してカシミール関数である。
• 可換なハミルトニアンの階層には $ ext{tr}(x_eta^k) $ および $ ext{tr}(x_eta^k rac{x_ au}{ u_eta - u_ au}) $ が含まれ、これらは両ヤンポアソン括弧に関して可換である（対合関係にある）。
• ハミルトニアン $ H = rac{1}{2} ext{tr}(x_eta^2)/ u_eta $ に対応するODEは $ rac{dx_eta}{dt} = extstyleigsum_{ au e eta} rac{x_eta x_ au^2 - x_ au^2 x_eta}{( u_eta - u_ au) u_ au} + rac{x_ au x_eta^2 - x_eta^2 x_ au}{( u_eta - u_ au) u_eta} $ となり、マナコフ系を一般化する。
• $ N = 2 $ のとき、系は $ u_t = u^2 v - v u^2 $, $ v_t = 0 $ に還元され、元のマナコフ系が回復される。
• 再帰作用素 $ R = ilde{ abla}_2 abla_1^{-1} $ は、初期のペアから無限個の適合するヤンポアソン構造を生成し、スペクトル不変量を用いて可積分性を保証する。