[論文レビュー] Bi-Lipshitz Embedding of Ultrametric Cantor Sets into Euclidean Spaces

Jean Bellissard, Antoine Julien|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アッソウド次元が有限であることを条件として、超距離ケーロル集合が有限次元ユークリッド空間に双リプシッツ埋め込み可能であることを、ツリーに基づく形式的枠組み（ミコンツリー）を用いて再解釈・再証明する。この枠組みを用いて、線形反復的およびステルミアン型サブシフトの埋め込み可能性を示し、有限ハウスドルフ次元をもつにもかかわらず埋め込み不可能な境界をもつランダムなガルトン＝ウォーソンツリーを構成する。

ABSTRACT

An ultrametric Cantor set can be seen as the boundary of a rooted weighted tree called the Michon tree. The notion of Assouad dimension is re-interpreted as seen on the Michon tree. The Assouad dimension of an ultrametric Cantor set is finite if and only if the space is bi-Lipschitz embeddable in a finite dimensional Euclidean space. This result, due to Assouad and refined by Luukkainen--Movahedi-Lankarani is re-proved in the Michon tree formalism. It is applied to answer the embedding question for some spaces which can be seen naturally as boundary of trees: linearly repetitive subshifts, Sturmian subshifts, and the boundary of Galton--Watson trees with random weights. Some of these give examples of nonembeddable spaces with finite Hausdorff dimension.

研究の動機と目的

• ミコンツリー形式的枠組みを用いて、有限アッソウド次元とユークリッド空間への双リプシッツ埋め込み可能性の同値性を再解釈・再証明すること。
• アッソウド次元の明確なツリーに基づく記述と、超距離ケーロル集合の埋め込み定理におけるその役割を提示すること。
• サブシフト（線形反復的およびステルミアン型）およびランダムなガルトン＝ウォーソンツリーから生じる特定のクラスの超距離ケーロル集合に対して、この枠組みを応用すること。
• 有限ハウスドルフ次元であっても双リプシッツ埋め込み不可能な例を構成することで、有限ハウスドルフ次元が埋め込み可能性を保証しないことを示すこと。
• i.i.d. ランダム重みをもつランダム重み付きツリーの境界のハウスドルフ次元が、ほとんど確実に臨界指数 $ s_m $ に等しく、$ s_m $-次元ハウスドルフ測度がほとんど確実に確率測度であることを示すこと。

提案手法

• 頂点の重みが局所的直径を符号化する根付きで重み付きツリー（ミコンツリー）として、超距離ケーロル集合を表現する。
• アッソウド次元を、ツリーに沿った重みの成長率、特に各レベルにおける子孫の最大数を用いて再表現する。
• 全有限部分ツリー $ ilde{ au} $ 上でマルティンゲール的手法を用い、$ s $-次元ハウスドルフ内容 $ ilde{ ho}^s( ilde{ au}) $ の挙動を分析する。
• i.i.d. な重み $ ilde{ ho}(v) $ をもつツリー上のランダム重み過程を定義し、モーメント母関数を用いて期待値 $ m h(s) $ を分析する。
• $ ilde{ ho}^s( ilde{ au}) $ がフィルトレーション $ ilde{ ho}_{ ilde{ au}} $ に関してマルティンゲールであることを確立し、ほとんど確実な収束を導く。
• ハウスドルフ次元がほとんど確実に $ s_m $ に等しく、$ s_m $ は $ m h(s_m) = 1 $ の解であることを証明し、$ s_m $-ハウスドルフ測度がほとんど確実に確率測度であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超距離ケーロル集合が有限次元ユークリッド空間に双リプシッツ埋め込み可能となる条件は何か？
• RQ2 超距離ケーロル集合のアッソウド次元は、その関連するミコンツリーの構造とどのように関係するか？
• RQ3 タイリング空間やサブシフトの双リプシッツ埋め込み可能性は、ツリーに基づく形式的枠組みによって特定可能か？
• RQ4 有限ハウスドルフ次元をもつが、いかなる $ bR^n $ に対しても双リプシッツ埋め込み不可能な超距離ケーロル集合は存在するか？
• RQ5 i.i.d. ランダム重みをもつガルトン＝ウォーソンツリーの境界のほとんど確実なハウスドルフ次元は何か？

主な発見

• 超距離ケーロル集合が $ bR^n $ に双リプシッツ埋め込み可能であることは、アッソウド次元が有限であることと同値であり、これはミコンツリーにおける各レベルでの子孫数に有限上界が存在することと同値である。
• アッソウド次元が有限であることと、臨界指数 $ s_m $ が $ m h(s_m) = 1 $ を満たすこと（$ m $ は子の期待数、$ h(s) $ は重み分布のモーメント母関数）が同値である。
• 線形反復的サブシフトは $ f $-埋め込み可能である。なぜなら、それに関連するタイリング空間のアッソウド次元が、タイリング次元 $ d $ に対して $ d+1 $ よりも厳密に小さいからである。
• ステルミアンサブシフトも $ f $-埋め込み可能である。なぜなら、それに関連するタイリング空間のアッソウド次元が有限だからである。
• i.i.d. ランダム重みをもつガルトン＝ウォーソンツリーの境界のハウスドルフ次元は、ほとんど確実に $ s_m $ に等しく、$ s_m $ は $ m h(s_m) = 1 $ の解である。
• $ s_m $-次元ハウスドルフ測度は、境界上でほとんど確実に確率測度である。これはほとんど確実に正かつ有限であり、有限部分ツリー上の $ s $-内容のほとんど確実な極限である。