[論文レビュー] Bi-modal Gödel logic over [0,1]-valued Kripke frames

Xavier Caicedo, Ricardo Óscar Rodríguez|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Fischer-Serviの直感的モーダル論理IKに前線形性公理を追加したヒルベルト的公理系$Γ_{◂\Diamond}$を導入することで、[0,1]-値のKripkeフレーム上での双モーダルGödel論理の強い完全性を確立する。主な貢献は、可算な双モーダルGödel代数を標準Gödel-Kripkeモデルを用いて表現する定理であり、任意のこのような代数が、あるフレーム$\mathcal{F}$に関する複素代数$[0,1]^\mathcal{F}$に埋め込まれることを示している。結果は、フレームの性質を[0,1]-値への一般化することで、$T$、$S4$、$S5$の双モーダル類似物へと拡張可能である。

ABSTRACT

We consider the Gödel bi-modal logic determined by fuzzy Kripke models where both the propositions and the accessibility relation are infinitely valued over the standard Gödel algebra [0,1] and prove strong completeness of Fischer Servi intuitionistic modal logic IK plus the prelinearity axiom with respect to this semantics. We axiomatize also the bi-modal analogues of $T,$ $S4,$ and $S5$ obtained by restricting to models over frames satisfying the [0,1]-valued versions of the structural properties which characterize these logics. As application of the completeness theorems we obtain a representation theorem for bi-modal Gödel algebras.

研究の動機と目的

• 双モーダルGödel論理の完全な公理体系を、命題および到達可能性関係が無限に値を取る[0,1]-値のKripkeフレーム上で構築すること。
• 単モーダル断片の完全性結果を、$\mathcal{G}_{\square}$と$\mathcal{G}_{\Diamond}$の和にFischer-Serviの接続公理を追加することで、完全な双モーダル設定に拡張すること。
• フレームの構造的性質（反射性、推移性など）の[0,1]-値版を課すことにより、古典的モーダル論理$T$、$S4$、$S5$の双モーダル類似物を公理化すること。
• 標準Gödel-Kripkeモデルを用いた可算な双モーダルGödel代数の表現定理を確立し、複素代数$[0,1]^\mathcal{F}$への埋め込みを示すこと。

提案手法

• 命題変数、結合子$\vee, \wedge, \rightarrow, \bot$、およびモーダル演算子$\square, \Diamond$を含む言語を用いて双モーダルGödel論理を形式化し、真理値を標準Gödel代数$[0,1]$にとる。
• Gödel-Kripkeモデルを、$W$が世界の集合、$S: W \times W \to [0,1]$が到達可能性関係、$e: W \times \text{Var} \to [0,1]$が評価関数である構造$\mathcal{F} = (W, S, e)$として定義する。
• $\mathcal{G}_{\square\Diamond}$を$\mathcal{G}_{\square}$と$\mathcal{G}_{\Diamond}$の和に、Fischer-Serviの接続公理：$\Diamond(\varphi\to\psi)\to(\Box\varphi\to\Diamond\psi)$および$(\Diamond\varphi\to\Box\psi)\to\Box(\varphi\to\psi)$を追加することで構成する。
• 正規理論$T$とコンパクト性を用いて、$T \vdash \varphi$がちょうど$M_T \models \varphi$となるようなモデル$M_T$を構成することで、強完全性を証明する。これにより、妥当性と完全性が保証される。
• 各可算な双モーダルGödel代数$A$に対して、$A$が$[0,1]^{\mathcal{F}_A}$に埋め込まれるようなGödelフレーム$\mathcal{F}_A$を関連付けることで、表現定理を確立する。この埋め込みにおいて、評価が保存されることを示す。
• 代数的構造$I^\mathcal{F}$と$K^\mathcal{F}$が必要な恒等式を満たし、モデルにおける真理値が、式の複雑さに関する帰納法によって代数的評価に対応することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双モーダルGödel論理が[0,1]-値のKripkeフレーム上で、強い完全性を満たす公理体系にできるか？
• RQ2 Fischer-Serviの直感的モーダル論理IKに前線形性を追加したものは、[0,1]-値のKripkeフレーム上での双モーダルGödel論理と同値か？
• RQ3 フレームの性質を[0,1]-値版に制限することで、$T$、$S4$、$S5$の双モーダル類似物を公理化できるか？
• RQ4 任意の可算な双モーダルGödel代数は、Gödel-Kripkeモデルを介して表現可能であり、複素代数$[0,1]^\mathcal{F}$への埋め込みをもつのか？
• RQ5 正規理論のための標準モデル構成は、[0,1]-値設定でも妥当性を保つように適応可能か？

主な発見

• Fischer-Serviの接続公理と前線形性公理$(\varphi\to\psi)\vee(\psi\to\varphi)$を追加した$\mathcal{G}_{\square\Diamond}$は、[0,1]-値のKripkeフレーム上で強い完全性を満たす。
• 双モーダルGödel論理$\mathcal{G}_{\square\Diamond}$は、前線形性を追加したFischer-Serviの$IK$論理と帰納的同値であり、その$S5$版は、前線形性を追加したPriorの$MIPC$と同値である。
• 任意の可算な正規理論$T$に対して、$T \vdash \varphi$がちょうど$M_T \models \varphi$となるようなGödel-Kripkeモデル$M_T$が存在する。これは、強完全性を証明する。
• 任意の可算な双モーダルGödel代数$A$は、あるフレーム$\mathcal{F}_A$に関する複素代数$[0,1]^{\mathcal{F}_A}$に埋め込める。これは表現定理を確立する。
• 埋め込みは真理を保存する：任意の$A$への評価$v$に対して、$\mathcal{F}_A$上のGödel-Kripkeモデルが存在し、$v(\varphi) = 1$がちょうどそのモデルで$\varphi$が妥当であるときである。
• 双モーダルGödel代数の多様体は、複素代数$[0,1]^\mathcal{F}$によって生成される。これは、可算ランクの自由代数に表現定理を適用することで示される。