[論文レビュー] Bi-skew braces and Hopf Galois structures

Lindsay N. Childs|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、二つの群演算を持つ代数的構造、すなわち各演算がそれぞれ斜めぶらう（skew brace）をなす二重斜めぶらう（bi-skew braces）を導入する。このような構造は、ガロア拡大における両方のタイプのホップ・ガロア構造と対応しており、べき零代数と半直積の結果を一般化する。主な貢献は、べき零代数および半直積から生じる二重斜めぶらうの特徴付けであり、位数 $p^3$ の左ぶらうが二重斜めぶらうであるための必要十分条件が、それがべき零環であることであることを示している。

ABSTRACT

We define a bi-skew brace to be a set $G$ with two group operations $\star$ and $\circ$ so that $(G, \circ, \star)$ is a skew brace with additive group $(G, \star)$ and also with additive group $(G, \circ)$. If $G$ is a skew brace, then $G$ corresponds to a Hopf Galois structure of type $(G, \star)$ on any Galois extension of fields with Galois group isomorphic to $(G, \circ)$. If $G$ is a bi-skew brace, then $G$ also corresponds to a Hopf Galois structure of type $(G, \circ)$ on a Galois extension of fields with Galois group isomorphic to $(G, \star)$. Many non-trivial examples exist. One source is radical rings $A$ with $A^3 = 0$, where one of the groups is abelian and the other need not be. The left braces of degree $p^3$ classified by Bachiller are bi-skew braces if and only they are radical rings. A different source of bi-skew braces is semidirect products of arbitrary finite groups, which yield many examples where both groups are non-abelian, and a skew brace proof of a result of Crespo, Rio and Vela that if $G = H times J$ is a semidirect product of finite groups, then a Galois extension of fields with Galois group $G$ has a Hopf Galois structure of type $H imes J$.

研究の動機と目的

• 二重斜めぶらうを定義し、各演算がそれぞれ斜めぶらうをなす二つの群演算を持つ集合として研究すること。
• ガロア拡大における両方のタイプのホップ・ガロア構造と二重斜めぶらうの間の対応関係を確立すること。
• 位数が $p^3$ の左ぶらうが二重斜めぶらうであるための分類を、べき零 $\mathbb{F}_p$-代数 $A^3 = 0$ および有限群の半直積から生じる場合に限定して行うこと。
• 位数 $p^3$ の左ぶらうが二重斜めぶらうであるための条件を特定し、それがまさにべき零環から生じる場合に限ることを示すこと。

提案手法

• 二重斜めぶらうを、集合 $G$ と二つの群演算 $\star$ および $\circ$ として定義する。ここで $(G, \circ, \star)$ は加法群が $(G, \star)$ である斜めぶらうであり、かつ加法群が $(G, \circ)$ である斜めぶらうである。
• 左正則表現写像 $\lambda_\star$ と $\lambda_\circ$ を用いて、$\lambda_\circ(G) \subseteq \mathrm{Hol}(G, \star)$ を満たす条件により斜めぶらうを特徴付ける。
• べき零 $\mathbb{F}_p$-代数 $A^3 = 0$ から二重斜めぶらうを構成する。ここで一つの群はアーベルであるが、もう一方はアーベルでない可能性がある。
• 有限群の半直積 $G = H \rtimes J$ を用いて、$G$ における $\star$ と $\circ$ の両方が非アーベル群である二重斜めぶらうを生成する。
• この理論を適用して、$G = H \rtimes J$ ならば、群 $G$ を持つガロア拡大がタイプ $H \times J$ のホップ・ガロア構造をもつことを証明する。これは、Crespo, Rio, Vela の結果を一般化する。
• 左ぶらうの位数 $p^3$ の分類（Bachiller）を分析し、それがべき零代数から生じる場合に限り二重斜めぶらうであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 斜めぶらうが二重斜めぶらうであるための条件は何か？ また、このような性質を保証する構造的条件は何か？
• RQ2 $A^3 = 0$ を満たすべき零代数は、どのようにして二重斜めぶらうを生じるか？
• RQ3 半直積と二重斜めぶらうの関係は何か？ 特に両方の群が非アーベルである場合にどうか？
• RQ4 位数 $p^3$ の左ぶらうが二重斜めぶらうであるための条件は何か？
• RQ5 同一のガロア拡大において、一つの二重斜めぶらうによって両方のタイプのホップ・ガロア構造を実現できるか？

主な発見

• 位数 $p^3$ の左ぶらうが二重斜めぶらうであるための必要十分条件は、それがべき零 $\mathbb{F}_p$-代数 $A^3 = 0$ から生じることである。
• $A^3 = 0$ を満たすべき零代数から構成された二重斜めぶらうは、一般に半直積の構成によって実現可能とは限らず、このような構造の異なる出処を示している。
• 任意の半直積 $G = H \rtimes J$ に対して、$(G, \circ, \star)$ は二重斜めぶらうをなす。ここで $(G, \star)$ は半直積であり、$(G, \circ)$ は直積 $H \times J$ である。
• 群 $H$ と $J$ がアーベルであるならば、$G$-ガロア拡大はタイプ $H \times J$ のアーベルなホップ・ガロア構造をもつ。
• 非アーベル群 $N$ に対して $\mathrm{Hol}(N) \cong N \rtimes \mathrm{Aut}(N)$ を用いることで、加法群と円形群の両方が非アーベルである二重斜めぶらうが得られる。ヘイゼンベルク群 $M_{(p)}$ の例で示されている。
• 半直積から生じない二重斜めぶらうが存在する。$\mathbb{F}_p$ 上の6次元べき零代数の例では、加法群は初等アーベル群であるが、乗法群は $\circ = +$ となる部分群の積に分解できない。