[論文レビュー] Bia{\l}ynicki-Birula decomposition for reductive groups

Joachim Jelisiejew, Łukasz Sienkiewicz|arXiv (Cornell University)|May 29, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな代数的空間上の $\mathbb{G}_m$-作用から、有限型のスキームおよび代数的空間上の任意の線型再帰的群 $\mathbf{G}$-作用へ、古典的 Białynicki-Birula 分解を一般化する。コンパクト化モノイド $\overline{\mathbf{G}}$ を用いた関手的構成を導入し、$\mathbf{G}$-等変な準同型の拡張をパラメトライズする。スキームとしての代表可能性（局所有限型）を証明し、ヒルベルト多様体におけるグレブナー細胞の交わりがアフィン空間に同型であることを示す。

ABSTRACT

We generalize the Bia{\\l}ynicki-Birula decomposition from actions of $G_m$ on smooth varieties to actions of linearly reductive group ${\\bf G}$ on finite type schemes and algebraic spaces. We also provide a relative version and briefly discuss the case of algebraic stacks. We define the Bia{\\l}ynicki-Birula decomposition functorially: for a fixed ${\\bf G}$-scheme $X$ and a monoid $\\overline{\\bf G}$ which partially compactifies ${\\bf G}$, the BB decomposition parameterizes ${\\bf G}$-schemes over $X$ for which the ${\\bf G}$-action extends to the $\\overline{\\bf G}$-action. The freedom of choice of $\\overline{\\bf G}$ makes the theory richer than the $G_m$-case.

研究の動機と目的

• 有限型の $\mathbf{G}$-スキームおよび代数的空間上の任意の線型再帰的群 $\mathbf{G}$-作用への、$\mathbb{G}_m$-作用に対する古典的 Białynicki-Birula 分解の拡張。
• $\mathbb{G}_m$-ケースにおける $\mathbb{A}^1$ の役割を一般化するため、$\mathbf{G}$ の部分コンパクト化 $\overline{\mathbf{G}}$ を用いた関手的枠組みの提供。
• 特に $\overline{\mathbf{G}}$ に零元が存在するという弱い仮定の下で、Białynicki-Birula 関手 $\mathcal{D}_{X,\overline{\mathbf{G}}}$ が局所有限型のスキームとして代表可能であることを確立する。
• 異なる単項式順序に対するグレブナー細胞の交わりの幾何的構造を解析し、それがアフィン空間に同型であることを示す。

提案手法

• 関手 $\mathcal{D}_{X,\overline{\mathbf{G}}}(S)$ を、$\mathbf{G}$-等変な準同型 $\varphi: \overline{\mathbf{G}} \times S \to X$ の集合として定義する。ここで $\mathbf{G}$ は $\overline{\mathbf{G}}$ 上で左乗法により作用し、$S$ 上では自明に作用する。
• $\overline{\mathbf{G}}$ に零元が存在することと正規性の仮定を用いて、零元を持つ連結モノイドに帰着させ、代表可能性を保証する。
• 形式的および滑らかさの議論を用いて、関手 $\mathcal{D}_{X,\overline{\mathbf{G}}}$ が局所有限型のスキームとして代表可能であることを証明する。
• ヒルベルト多様体 $\mathcal{H} = \mathrm{Hilb}_d(\mathbb{A}^2)$ に理論を適用し、異なる単項式順序から誘導される二つの $\mathbb{G}_m$-作用を用いる。
• 同じ単項式イデアルに対応する二つの Białynicki-Birula 細胞 $Z_1$ と $Z_2$ のファイバー積 $Z_1 \times_{\mathcal{H}} Z_2$ が、$\mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$ から $\mathbb{A}^2$ への等変準同型の拡張により、アフィン空間に同型であることを示す。
• $\mathcal{H}$ の滑らかさと等変の持ち上げ可能性を用いて、$\mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$ 上の族が一意に $\mathbb{A}^2$ に拡張されることを証明し、$\mathbb{A}^2$-コンパクト化分解における細胞と、ファイバー積との間に自然な同型が存在することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{G}_m$-作用に対する古典的 Białynicki-Birula 分解は、有限型のスキームおよび代数的空間上の任意の線型再帰的群 $\mathbf{G}$-作用へ一般化可能か？
• RQ2 Białynicki-Birula 分解の関手的記述において、$\mathbb{G}_m$-ケースにおける $\mathbb{A}^1$ の代わりに適切な置き換えは何か？
• RQ3 Białynicki-Birula 関手 $\mathcal{D}_{X,\overline{\mathbf{G}}}$ が局所有限型のスキームとして代表可能となる条件は何か？
• RQ4 同じ初期イデアルを持つが異なる単項式順序に対応する二つの Białynicki-Birula 細胞の交わりは、$\mathbb{A}^2$ 上の点のヒルベルト多様体においてどのような幾何的構造を持つか？
• RQ5 同じ初期イデアルを持つ任意個のグレブナー細胞の交わりはアフィン空間に同型か？

主な発見

• 任意の有限型 $\mathbf{G}$-スキーム $X$ に対して、$\mathbf{G}$ が連結で、$\overline{\mathbf{G}}$ に零元が存在する限り、Białynicki-Birula 関手 $\mathcal{D}_{X,\overline{\mathbf{G}}}$ は局所有限型のスキームとして代表可能である。
• 代数的閉体上では、任意の零元を持つ正規モノイド $\overline{\mathbf{G}}$ は、零元を持つ連結モノイド $\overline{\mathbf{N}}$ に同値であるため、連結性と零元の存在という仮定は制限的ではない。
• ヒルベルト多様体 $\mathcal{H} = \mathrm{Hilb}_d(\mathbb{A}^2)$ において、同じ単項式イデアルに対応する二つの Białynicki-Birula 細胞 $Z_1$ と $Z_2$ の交わり $Z_1 \times_{\mathcal{H}} Z_2$ はアフィン空間に同型である。
• この交わりの次元は、$\dim_k \mathrm{Hom}(M, S/M)_{\geq 0, \geq 0}$ に等しく、単項式イデアル $[M]$ における接空間の非負な次数部分の次元である。
• 同様の結果は、同じ初期イデアルを持つ任意個の細胞の交わりへ拡張可能であり、すべてアフィン空間に同型である。
• ファイバー積 $Z_1 \times_{\mathcal{H}} Z_2$ と $\mathbb{A}^2$-コンパクト化分解における細胞との自然な同型は、$\mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$ から $\mathbb{A}^2$ への $\mathbb{G}_m \times \mathbb{G}_m$-等変準同型の一意拡張から生じる。