[論文レビュー] Bialgebras, the classical Yang-Baxter equation and Manin triples for 3-Lie algebras

Chengming Bai, Li Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、3-リーダブル代数へのリーダブル代数理論の拡張として、局所コサイクルおよびダブル構成3-リーダブル代数の2種類の新しい3-リーダブル代数を導入する。3-リーダブル代数の古典的ヤン・バクスター方程式、$\mathcal{O}$-作用素、および3-プリリーダブル代数との関係を確立し、3-リーダブル代数の古典的ヤン・バクスター方程式（3-Lie CYBE）の解がコバウンダリー局所コサイクル3-リーダブル代数を生じることを示している。一方、ダブル構成代数は、マニン三重項を介して中性符号性を持つ擬似計量3-リーダブル代数を生じる。

ABSTRACT

This paper studies two types of 3-Lie bialgebras whose compatibility conditions between the multiplication and comultiplication are given by local cocycles and double constructions respectively, and are therefore called the local cocycle 3-Lie bialgebra and the double construction 3-Lie bialgebra. They can be regarded as suitable extensions of the well-known Lie bialgebra in the context of 3-Lie algebras, in two different directions. The local cocycle 3-Lie bialgebra is introduced to extend the connection between Lie bialgebras and the classical Yang-Baxter equation. Its relationship with a ternary variation of the classical Yang-Baxter equation, called the 3-Lie classical Yang-Baxter equation, a ternary $\mathcal{O}$-operator and a 3-pre-Lie algebra is established. In particular, it is shown that solutions of the 3-Lie classical Yang-Baxter equation give (coboundary) local cocycle 3-Lie bialgebras, whereas 3-pre-Lie algebras give rise to solutions of the 3-Lie classical Yang-Baxter equation. The double construction 3-Lie bialgebra is introduced to extend to the 3-Lie algebra context the connection between Lie bialgebras and double constructions of Lie algebras. Their related Manin triples give a natural construction of pseudo-metric 3-Lie algebras with neutral signature. Moreover, the double construction 3-Lie bialgebra can be regarded as a special class of the local cocycle 3-Lie bialgebra. Explicit examples of double construction 3-Lie bialgebras are provided.

研究の動機と目的

• リーダブル代数理論を3-リーダブル代数へ拡張するため、局所コサイクルおよびダブル構成3-リーダブル代数という2つの異なる双代数構造を導入すること。
• 3-リーダブル代数の古典的ヤン・バクスター方程式（3-Lie CYBE）の解とコバウンダリー局所コサイクル3-リーダブル代数との関係を確立すること。
• リーダブル代数のダブル構成を3-リーダブル代数の文脈に一般化し、マニン三重項を用いて中性符号性を持つ擬似計量3-リーダブル代数を構成すること。
• 2種類の双代数構造の関係を明確にし、ダブル構成3-リーダブル代数が局所コサイクル3-リーダブル代数の特別な場合であることを示すこと。

提案手法

• アドジョイント表現のテンソル表現における1-コサイクルによって定義される適合条件を用いて、局所コサイクル3-リーダブル代数を導入する。
• 3-リーダブル代数の古典的ヤン・バクスター方程式（3-Lie CYBE）を定義し、その解がコバウンダリー局所コサイクル3-リーダブル代数を生じることを示す。
• $\mathcal{O}$-作用素を3-リーダブル代数の文脈で定義し、3-プリリーダブル代数が3-Lie CYBEの解を生じることを証明する。
• マッチドペアの3-リーダブル代数とマニン三重項を用いてダブル構成3-リーダブル代数を構成し、代数構造と余代数構造の適合性を保証する。
• 余代数の双対を用いて双対空間上に3-リーダブル代数構造を定義し、マニン三重項を形成する。
• 具体的な例を提示し、特に4次元単純3-リーダブル代数上に非自明なダブル構成3-リーダブル代数が存在することを示す。対応する対称$ r $-行列は3-Lie CYBEを満たさない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーダブル代数理論を3-リーダブル代数へ拡張するには、どのようないかがい双代数構造が適合可能か？
• RQ2 3-リーダブル代数の古典的ヤン・バクスター方程式は、コバウンダリー局所コサイクル3-リーダブル代数を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 $\mathcal{O}$-作用素および3-プリリーダブル代数は、3-リーダブル代数の古典的ヤン・バクスター方程式の解とどのように関係するか？
• RQ4 ダブル構成3-リーダブル代数が、そのマニン三重項によって中性符号性を持つ擬似計量3-リーダブル代数を生じるように構成可能か？
• RQ5 非自明なダブル構成3-リーダブル代数が存在する条件は何か？また、なぜ一部の3-リーダブル代数は自明（零余代数）のケースしか許さないのか？

主な発見

• 3-リーダブル代数の古典的ヤン・バクスター方程式（3-Lie CYBE）の解は、コバウンダリー局所コサイクル3-リーダブル代数を生じる。
• 3-プリリーダブル代数は、3-リーダブル代数の古典的ヤン・バクスター方程式の解を構成する手法を提供する。
• ダブル構成3-リーダブル代数は、1-コサイクルと反対称性によって表現される適合条件を持つ、局所コサイクル3-リーダブル代数の特別なクラスである。
• ダブル構成3-リーダブル代数に付随するマニン三重項は、中性符号性を持つ擬似計量3-リーダブル代数を生じる。
• 4次元単純複素3-リーダブル代数では、非自明なダブル構成3-リーダブル代数が存在し、3-Lie CYBEを満たさない対称$ r $-行列を用いて構成される。
• いくつかの3-リーダブル代数クラス（例：3次元非自明、4次元クラス(2)、(5)、(6)）では、1-コサイクルと反対称性の間に矛盾が生じるため、自明なダブル構成双代数（零余代数）のみが存在する。