[論文レビュー] Bialynicki-Birula schemes in higher dimensional Hilbert schemes of points and monic functors

Laurent Evain, Mathias Lederer|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アフィンd次元空間上のヒルベルト函数の点のヒルベルト函数におけるBiałynicki-Birula層が、関連する函手の代表可能性を示すことにより、自然なスキーム的構造（Białynicki-Birulaスキームと呼ばれる）を備えることを確立する。さらに、トーラス作用のi番目の座標における重みが非正である場合、そのスキームはi番目のヒルベルト＝チャウ写像の0における纤维にスキーム的に含まれることを示す。主な貢献は、グレブナー基底理論が失敗する負の重みを含む場合でも、固定された初期理想を持つイデアルをパラメトライズするモニック函手の代表可能性を拡張した、関手的手法の拡張である。

ABSTRACT

The Bialynicki-Birula strata on the Hilbert scheme $H^n(\mathbb{A}^d)$ are smooth in dimension $d=2$. We prove that there is a schematic structure in higher dimensions, the Bialynicki-Birula scheme, which is natural in the sense that it represents a functor. Let $ ho_i:H^n(\mathbb{A}^d) ightarrow { m Sym}^n(\mathbb{A}^1)$ be the Hilbert-Chow morphism of the ${i}^{th}$ coordinate. We prove that a Bialynicki-Birula scheme associated with an action of a torus $T$ is schematically included in the fiber $ ho_i^{-1}(0)$ if the ${i}^{th}$ weight of $T$ is non-positive. We prove that the monic functors parametrizing families of ideals with a prescribed initial ideal are representable.

研究の動機と目的

• d > 2 に対して、アフィンd次元空間上の点のヒルベルト函数におけるBiałynicki-Birula層に自然なスキーム的構造を与えること。
• トーラス作用の下で固定された初期理想を持つイデアルの族をパラメトライズする函手の代表可能性を確立すること。
• トーラス作用のi番目の重みが非正である場合、Białynicki-Birulaスキームがヒルベルト＝チャウ写像のi番目の纤维にスキーム的に含まれることを示すこと。
• 古典的グレブナー基底法が失敗する負の重みを含む場合に対しても、関手的および計算的手法を拡張すること。

提案手法

• トーラス作用の下で固定された単項式部分スキームに収束する部分スキームの族をパラメトライズするBiałynicki-Birula函手を導入する。
• トーラス作用によって誘導される重み順序を refining する全順序を用いて、固定された初期理想を持つイデアルをパラメトライズするモニック函手を定義する。
• 特に負の重みが存在する場合でも、グレブナー基底技術とは異なる新しいアプローチにより、モニック函手の代表可能性を証明する。
• 重み関数に基づく符号付き順序構成を用いて、トーラス作用と整合する全順序を定義し、イデアルの収束を分析する。
• Iversenの線形化された行列式構成を用いて、ヒルベルト＝チャウ写像と乗法作用素の行列との関係を確立する。
• ξi ≤ 0 のとき、xi による乗法作用素を厳密下三角行列として表現し、特定の行列式の消滅を証明することで、ρ−1_i(0) へのスキーム的包含を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d > 2 に対して、アフィンd次元空間 Ad 上の点のヒルベルト函数におけるBiałynicki-Birula層に、函手を代表する自然なスキーム的構造を備えることができるか？
• RQ2 重み順序に負の重みが含まれる場合でも、固定された初期理想を持つイデアルをパラメトライズする函手は代表可能か？
• RQ3 トーラス作用に伴うi番目の重みが非正である場合、関連するBiałynicki-Birulaスキームはi番目のヒルベルト＝チャウ写像の纤维にスキーム的に含まれるか？
• RQ4 高次元におけるBiałynicki-Birula層のスキーム的性質は、ヒルベルト＝チャウ写像とどのように関係するか？
• RQ5 負の重みが存在する状況において、グレブナー基底理論に依存せずにモニック函手の代表可能性を確立できるか？

主な発見

• Białynicki-Birula函手は、ヒルベルト函数 Hn(Ad) の局所閉部分スキームによって代表可能であり、層に自然なスキーム的構造を与える。
• 初期理想 I∆ を固定するイデアルをパラメトライズするモニック函手は、重み順序に負の重みが含まれる場合でも代表可能である。
• トーラス作用のi番目の重みが非正である場合、Białynicki-Birulaスキームはヒルベルト＝チャウ写像の纤维 ρ−1_i(0) にスキーム的に含まれる。
• xi が対称冪内の多項式を割り切る場合、xi による乗法行列の行列式が消えることが示され、0における纤维へのスキーム的包含を示す。
• xi による乗法作用素が、ある基底において厳密下三角行列として表現可能であることが証明され、xi が入力多項式のいずれかを割り切る場合、行列式が消えることが保証される。
• 結果として、Hn(A3) 内の特定のBiałynicki-Birula層が非可約であることが示され、ヒルベルト函数の異なる既約成分に属する成分を構成することで示された。