[論文レビュー] Bianchi Orbifolds of Small Discriminant

Allen Hatcher|ArXiv.org|Jun 10, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、判別式 $D < 0$ かつ $D > -100$ である虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ に対して、Bianchi 軌道 $X_D = \mathcal{H}^3 / \mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_D)$ のコンパクト化 $\widehat{X}_D$ を分類する。Riley のフォード基本領域による計算データを用い、$\widehat{X}_D = S^3$ となるのはちょうど 19 つの $D$ 値に対してであり、軌道構造と関連する分岐被覆 $Y_D = \mathcal{H}^3 / \mathrm{PSL}_2(\mathcal{O}_D)$ を完全に記述する。これにより、幾何的群論およびコhomological 性質との関連が明らかになる。

ABSTRACT

This brief report (6 pages) was written in 1983 but never published. It concerns the hyperbolic 3-orbifolds obtained as quotients of hyperbolic 3-space by the group of invertible 2 by 2 matrices whose entries are integers in the imaginary quadratic extension of Q of discriminant D. For values D &gt; -100 the topological type of this orbifold is tabulated, and in the cases when the topological type is a punctured 3-sphere, the singular locus of the orbifold is drawn. A few miscellaneous comments about these orbifolds are included. The tables and pictures are based on Bob Riley's computer calculations of Ford domains and face pairings. Nothing is said about later developments after 1983. The pictures are also viewable on my webpage in a perhaps more convenient format; see http://math.cornell.edu/~hatcher

研究の動機と目的

• 虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ に対して、Bianchi 軌道 $X_D = \mathcal{H}^3 / \mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_D)$ のコンパクト化 $\widehat{X}_D$ が 3-次元球面 $S^3$ と位相的に同相となるような $D$ を特定すること。
• コンパクト化 $\widehat{X}_D = S^3$ となる場合に、$X_D$ 上の軌道構造、特に $\mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_D)$ のねじれ元の固定点軸からなる特異的局所の構造を明示的に記述すること。
• $Y_D = \mathcal{H}^3 / \mathrm{PSL}_2(\mathcal{O}_D) \to X_D$ である 2 枚目の分岐被覆の位相的型とコhomological 性質を同定すること。
• 特に、$cuspidal cohomology$ と関連して、$X_D$ および $Y_D$ に完全に測地的かつ非圧縮可能な曲面が存在するかを調査すること。

提案手法

• 群 $\mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_D)$ が $\mathcal{H}^3$ 上に作用する Riley のコンピュータ生成フォード基本領域を用い、面の同一化を群元が符号化していることを活用する。
• 幾何的可視化技術を用いて、フォード領域の組合せ的データからコンパクト化された軌道 $\widehat{X}_D$ の位相を再構成する。
• 特異的局所を $\mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_D)$ のねじれ元の固定点軸の像として分析し、辺には回転の位数をラベルする。
• $\mathrm{PSL}_2(\mathcal{O}_D)$ を $\mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_D)$ の指数 2 の部分群として考える。これにより分岐被覆 $Y_D \to X_D$ を構成し、$cusps$ の振る舞いが被覆の型を決定する。
• ホモロジー $H^1$ および $H^2$ などの位相的不変量を用い、$Y_D$ の $cuspidal cohomology$ を検出するとともに、その幾何的性質を推論する。
• 軌道図に現れる反転および回転対称性を用いて、特に群 $G_D$ を介して $\mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_D)$ のガロア理論的拡張を推論する。$G_D$ は $\mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_D)$ を正規部分群として含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 判別式 $D < 0$ かつ $D > -100$ に対して、Bianchi 軌道 $X_D$ のコンパクト化 $\widehat{X}_D$ が $S^3$ と位相的に同相となるのはどの $D$ か？
• RQ2 $\widehat{X}_D = S^3$ の場合に、$X_D$ 上の明示的な軌道構造は何か。特に、特異的局所の配置とねじれ元の位数は？
• RQ3 $Y_D = \mathcal{H}^3 / \mathrm{PSL}_2(\mathcal{O}_D)$ は $X_D$ に対してどのように関係し、各 $D$ に対してその位相的型は何か？
• RQ4 $Y_D$ に $cuspidal cohomology$ が存在しないのはどの場合か。これはその幾何的・算術的構造にどのような意味を持つのか？
• RQ5 $X_D$ は、非圧縮可能な曲面の階層によって分解可能か？ これは $\mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_D)$ の群構造にどのような含意を持つのか？

主な発見

• 範囲 $-100 < D < 0$ 内で $\widehat{X}_D = S^3$ となる $D$ はちょうど 19 箇所であり、$D = -3, -4, -7, -8, -11, -15, -19, -20, -23, -24, -31, -35, -39, -40, -43, -47, -51, -52, -55$ である。
• この 19 例において、$X_D$ 上の軌道構造は明示的に記述される：特異的局所は、ねじれ元の位数がラベルされた辺を持つ埋め込まれたグラフから構成され、論文に付随する図で視覚化されている。
• $Y_D = \mathcal{H}^3 / \mathrm{PSL}_2(\mathcal{O}_D)$ は、$D = -3, -4$ の場合に位相的に $S^3$ であり、$D = -7, -8, -11, -19$ の場合に 3-次元球体 $B^3$ であり、$D$ が大きくなるにつれて $S^1 \times D^2$、$T^2 \times I$、$S^1 \times S^2$ を含む複雑な連結和へと変化する。
• $\widehat{X}_D = S^3$ となる 19 例のうち 14 例において、$Y_D$ は $cuspidal cohomology$ を持たない。これは $H^1(Y_D; \mathbb{Z}) \to H^1(\partial Y_D; \mathbb{Z})$ が単射であることを意味し、$D < 0$ のすべての $D$ の中で、この性質を持つのはこれらの $D$ のみである。
• $D = -84$ の場合、$\widehat{X}_D = S^1 \times S^2$ であり、特異的局所はトーラス上に周期的グラフとして配置され、この多様体を二つのドーナツ体に分解する。$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 商により $S^3$ が得られる。
• $D \neq -3, -4$ の場合、$\widehat{X}_D = S^3$ となる 19 個の軌道 $X_D$ はハーケンである。非圧縮可能な曲面の階層により、$\mathbb{R}^3 / \Gamma$（$\Gamma \subset SO(3)$ の有限部分群）の商に分解可能であり、群 $\mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_D)$ は $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ を共有する自由積の反復的結合として得られる。