[論文レビュー] Bias correction for estimators of the extremal index

Holger Drees|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、漸近的理論に基づく経験クラスタプロセスを用いて、ランダム誤差の収束速度を保ちつつ、主なバイアス項を除去する、極値指数のバイアス補正推定量を提案する。この手法により、しきい値選択に対する感受性が低減され、推定の安定性と解釈可能性が著しく向上する。

ABSTRACT

We investigate the joint asymptotic behavior of so-called blocks estimator of the extremal index, that determines the mean length of clusters of extremes, based on the exceedances over different thresholds. Due to the large bias of these estimators, the resulting estimates are usually very sensitive to the choice of the threshold and thus difficult to interpret. We propose and examine a bias correction that asymptotically removes the leading bias term while the rate of convergence of the random error is preserved.

研究の動機と目的

• 従来のブロック推定量における大きな有限サンプルバイアスを是正すること。これは、しきい値選択に対して高い感受性を引き起こす。
• ランダム誤差の収束速度を劣化させることなく、漸近的に主なバイアス項を除去するバイアス低減技術を開発すること。
• 洪水リスクや金融市場の暴落などのクラスタリングされた極値を含む応用分野における、極値指数推定量の解釈可能性と信頼性を向上させること。
• 弱混合条件および吸引域仮定の下で、バイアス補正推定量の漸近的理論を確立すること。

提案手法

• しきい値を超える超過度数に基づくブロック推定量を用い、少なくとも1つの超過度数を持つブロック数を全超過度数で割った比として定義される。
• 経験過程理論を適用して、超過度数と非空ブロック数の同時挙動をモデル化し、推定量の漸近的解析を可能にする。
• 経験クラスタプロセスの関数中心極限定理を用いて、主な漸近的バイアス項を特定・除去することで、バイアス補正を導出する。
• 一様収束を保証し、極限におけるバイアスを制御するため、列 $ s_n(t) $ を用いたランダムしきい値調整を導入する。
• 区間 $ (0,1]^2 $ 上の測度 $ \mu $ を用いて、異なるスケールにおける推定量の重み付き平均を定義し、線形結合によるバイアス補正を可能にする。
• テイラー展開および一様収束結果を用いて、バイアス補正推定量が元のブロック推定量と同一の収束速度を維持しながら、支配的バイアス項を完全に除去することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なブロック推定量の極値指数における大きな有限サンプルバイアスを、体系的に低減する方法は何か？
• RQ2 弱混合および吸引域条件の下で、バイアス補正済み極値指数推定量の漸近的分布は何か？
• RQ3 バイアス補正は、元の推定量の収束速度を劣化させることなく、有限サンプル性能を向上させることができるか？
• RQ4 しきい値の選択が推定量のバイアスと分散に与える影響は何か？ そして、これに対処する補正は可能か？
• RQ5 経験クラスタプロセスは、バイアス補正推定量の導出を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 提案されたバイアス補正により、ブロック推定量の主なバイアス項が漸近的に除去され、ランダム誤差の収束速度 $ \sqrt{n v_n} $ が保たれる。
• バイアス補正推定量は、しきい値の範囲にわたる一様収束を達成し、しきい値選択に対する感受性が顕著に低減される。
• 仮定された混合条件および吸引域条件の下で、推定量は一貫性を有し、漸近的に正規分布に従い、バイアスが $ o_P((n v_n)^{-1/2}) $ にまで低減される。
• バイアス補正は、経験クラスタプロセスの関数極限定理を用いて達成され、バイアス構造の精密な制御が可能になる。
• ブロック長およびしきい値の選択に対してロバストであることが示され、$ r_n $, $ v_n $, および $ n $ に関する一般条件の下で、修正済み推定量の収束が成立する。
• 理論的結果から、バイアス補正が漸近的分散を劣化させず、元の推定量の最適収束速度を維持することが示された。