[論文レビュー] Biased random walks on random graphs

Gérard Ben Arous, Alexander Fribergh|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 53被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、ギャルトン＝ウォーソン木や上臨界パーコレーションクラスタを含むランダムグラフ上の偏りのあるランダムウォークを調査し、漸近的スピード、フラクチュエーション挙動、およびアーリング現象に注目している。サブボールスティック領域において、ウォークのトラップ内滞在時間は $\alpha$-安定なサブオルダナに弱収束し、一般化アーサイン法則によって特徴づけられるアーリングを示す。スケーリング極限は安定分布およびサブオルダナによって支配される。

ABSTRACT

These notes cover one of the topics programmed for the St Petersburg School in Probability and Statistical Physics of June 2012. The aim is to review recent mathematical developments in the field of random walks in random environment. Our main focus will be on directionally transient and reversible random walks on different types of underlying graph structures, such as $\mathbb{Z}$, trees and $\mathbb{Z}^d$ for $d\geq 2$.

研究の動機と目的

• 上臨界ギャルトン＝ウォーソン木に付随するリーフの存在下での偏りのあるランダムウォークの漸近的スピードおよびフラクチュエーション挙動を理解すること。
• 強いトラッピング効果に起因する偏りのあるランダムウォークにおけるアーリング現象の出現を調査すること。
• トラップ内滞在時間のスケーリング極限を確立し、$\alpha$-安定なサブオルダナへの収束を示すこと。
• ランダム環境におけるトラップモデル、サブオルダナ、極値過程の間の関係を調査すること。
• さまざまなランダムグラフ構造における制限速度およびスケーリング極限に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 根から遠ざかる方向への移動を好む偏り $\beta$ を持つ $\beta$-偏りランダムウォークモデルをギャルトン＝ウォーソン木に適用する。
• ハリス分解を用いてギャルトン＝ウォーソン木の構造を分析し、木をバックボーンと分岐成分に分離する。
• ラプラス指数技術およびレヴィ過程理論を用いて、トラップ内滞在時間の極限過程として $\alpha$-安定なサブオルダナを特徴づける。
• アインシュタイン関係を用いて、偏りのあるランダムウォーク設定における漸近的スピードとリャプノフ指数の微分との関係を結ぶ。
• 安定分布の吸引域理論を用いて、ウォークの加法的関数のスケーリングされた関数の収束を分析する。
• スコロホド位相を用いて、スケーリングされた過程の弱収束を $\alpha$-安定なレヴィ過程（特に $\alpha<1$ の場合のサブオルダナ）に対して研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上臨界ギャルトン＝ウォーソン木にリーフが付随する偏りのあるランダムウォークの漸近的スピードは、偏りパラメータ $\beta$ および後代分布にどのように依存するか？
• RQ2 特にサブボールスティック領域において、ギャルトン＝ウォーソン木にリーフが付随する偏りのあるランダムウォークのフラクチュエーションの性質は何か？
• RQ3 トラッピング効果はどのように偏りのあるランダムウォークにアーリングを引き起こし、一般化アーサイン法則と関連するか？
• RQ4 ウォークをスケーリングした際のトラップ内滞在時間の極限挙動は何か？また、$\alpha$-安定なサブオルダナとどのように関係するか？
• RQ5 上臨界パーコレーションクラスタにおける偏りのあるランダムウォークの制限速度は特徴づけられるか？また、相転移は鋭いか？

主な発見

• $\beta > \beta_0$ の場合、リーフを有する無限大のギャルトン＝ウォーソン木上の偏りのあるランダムウォークは再帰的ではなく、ほとんど確実に正の漸近的スピード $v(\beta)$ を有する。
• サブボールスティック領域（$\alpha < 1$）において、トラップ内滞在時間のスケーリングされた量は弱収束し、$\alpha$-安定なサブオルダナに収束し、アーリング効果を引き起こす。
• 時間区間 $[an^{1/\alpha}, bn^{1/\alpha}]$ に同一のトラップに留まる確率は、一般化アーサイン法則 $P[\text{ASL}_\alpha \in [0, a/b]]$ に収束する。
• スケーリングされたウォーク軌道の極限過程は、スコロホド位相において $\alpha$-安定なレヴィ過程に収束し、トラップ時間の重たい尾分布に起因するサブオルダナ構造が現れる。
• リーフを有するギャルトン＝ウォーソン木上での漸近的スピードは $\beta > \beta_0$ に対して正であり、後代分布に非自明に依存する。
• 上臨界パーコレーションクラスタでは、偏りのあるランダムウォークは臨界偏りでスピードに相転移を示し、その転移は鋭く、大きなクラスタに滞在する時間との関係を通じてトラップモデルと関連する。