[論文レビュー] Bicartesian Coherence

Kosta Došen, Zoran Petrić|ArXiv.org|Jun 7, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、終端対象や始点対象を含まず、分配法則を仮定しない二項積と和のみを備えた双カルテジアン圏の整合性を、有限順序数上の関係の圏への忠実関手の構成によって確立する。主な結果は、この関手を用いて射の等価性を決定可能であり、このような圏は最大である——任意の前順序でない拡張は、積と和を含むすべての等式を、既に自由圏に存在するものに縮退させる。

ABSTRACT

Coherence is demonstrated for categories with binary products and sums, but without the terminal and the initial object, and without distribution. This coherence amounts to the existence of a faithful functor from a free category with binary products and sums to the category of relations on finite ordinals. This result is obtained with the help of proof-theoretic normalizing techniques. When the terminal object is present, coherence may still be proved if of binary sums we keep just their bifunctorial properties. It is found that with the simplest understanding of coherence this is the best one can hope for in bicartesian categories. The coherence for categories with binary products and sums provides an easy decision procedure for equality of arrows. It is also used to demonstrate that the categories in question are maximal, in the sense that in any such category that is not a preorder all the equations between arrows involving only binary products and sums are the same. This shows that the usual notion of equivalence of proofs in nondistributive conjunctive-disjunctive logic is optimally defined: further assumptions would make this notion collapse into triviality. (A proof of coherence for categories with binary products and sums simpler than that presented in this paper may be found in Section 9.4 of {\it Proof-Theoretical Coherence}, revised version of September 2007, http://www.mi.sanu.ac.yu/~kosta/coh.pdf.)

研究の動機と目的

• 終端対象や始点対象を含まず、分配法則を仮定しない二項積と和のみを備えた圏の整合性を確立すること。
• 有限順序数上の関係の圏への忠実関手を用いて、このような圏における射の等価性の決定手続きを提供すること。
• これらの圏の等式理論が最大であることを示すこと——任意の前順序でない拡張は、同じ等式理論に縮退する。
• 非分配的かつ結合的・選言的論理における標準的証明同値の定義が最適であることを明確にし、より強い仮定を追加すると同値が自明化することを示すこと。

提案手法

• 終端対象や始点対象を含まず、二項積と和によって生成される自由圏 $\mathcal{C}_{\times,+}$ を構成する。
• 証明論的正規化技法を用いて、$\mathcal{C}_{\times,+}$ から有限順序数上の関係の圏への関手 $G$ を定義する。
• 証明論的文脈におけるカット除去を用いて、$G$ による射項の像が一意的かつ単集合値であることを示す。
• 「$\mathcal{C}_{\times,+}$ において $f = g$ である」ときかつそのときに限り「$G(f) = G(g)$ である」ことを示すことにより、$G$ の忠実性を確立する。
• $G$ の忠実性を活用し、$\mathcal{C}_{\times,+}$ を拡張するが前順序でない任意の圏が、$\mathcal{C}_{\times,+}$ のすべての等式を満たす必要があることを示す。
• $k^1_{p,p} = k^2_{p,p}$ や $l^1_{p,p} = l^2_{p,p}$ のような等式を追加した場合の結果を分析し、それらが圏を前順序に強制することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終端対象や始点対象、分配法則を含まず、二項積と和のみを備えた圏の整合性を確立できるか？
• RQ2 二項積と和を備えた自由圏から、射の等価性の決定手続きを可能にする具体的な圏（有限順序数上の関係の圏）への忠実関手が存在するか？
• RQ3 二項積と和を備えた圏の最大等式理論とは何か——任意の前順序でない拡張は新しい等式を導入できるか？
• RQ4 非分配的かつ結合的・選言的論理における標準的証明同値の定義がなぜ最適であるのか、より強い仮定を追加した場合に何が起こるのか？

主な発見

• 二項積と和を備えた自由圏 $\mathcal{C}_{\times,+}$ から有限順序数上の関係の圏への忠実関手 $G$ が存在する。
• $\mathcal{C}_{\times,+}$ における射の等価性は、$G$ による像を用いて決定可能である——$f = g$ in $\mathcal{C}_{\times,+}$ であることと $G(f) = G(g)$ であることは同値である。
• $\mathcal{C}_{\times,+}$ は最大である——任意の前順序でない双カルテジアン圏で、同じ等式を満たすものも、$\mathcal{C}_{\times,+}$ のすべての等式を満たさなければならない。
• $k^1_{p,p} = k^2_{p,p}$ または $l^1_{p,p} = l^2_{p,p}$ が $\times,+$-圏で成立するならば、その圏は前順序である。
• 非分配的かつ結合的・選言的論理における標準的証明同値の定義は最適である——より多くの等式を追加すると、同値性が自明化する。
• $\mathcal{C}_{\times,+}$ の等式理論は保存的である——$\mathcal{C}_{\times,+}$ の言語における任意の等式が拡張圏で成立するならば、それは既に $\mathcal{C}_{\times,+}$ で成立している。