[論文レビュー] Bicat is not triequivalent to Gray

Stephen Lack|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、2-圏、2-関手、擬自然変換、および変更からなる三圏 Bicat と、2-圏、2-関手、擬自然変換、および変更からなる三圏 Gray が三同値でないことを証明している。主な結果は、任意の2-圏が2-圏に双同値である一方で、包含写像 Gray → Bicat は局所的に双同値でないことが示され、特定の擬関手が2-関手と擬自然同値でないことが判明し、これにより先行文献における主張と矛盾する。

ABSTRACT

Bicat is the tricategory of bicategories, homomorphisms, pseudonatural transformations, and modifications. Gray is the subtricategory of 2-categories, 2-functors, pseudonatural transformations, and modifications. We show that these two tricategories are not triequivalent.

研究の動機と目的

• 高次圏論における基礎的問題を解決する：三圏 Bicat が三圏 Gray と三同値かどうか。
• 文献（[2] の 5.6 節）における誤った主張（Bicat が Gray と三同値である）を是正する。
• 三圏的同値性の文脈において、2-圏と2-圏の関係を明確化する。
• 包含写像 Gray → Bicat が三同値でないことを示すが、対象に関しては三本質的に全射である。
• Bicat がある Gray-圏と三同値である一方で、Gray 自身と三同値でないことを示す。

提案手法

• 2-圏 A（位数2の群）と B（ℤ における 2ℤ による擬似商）を用いた反例を構成し、A から B へのホモーモルフィズムが任意の2-関手と擬自然同値でないことを示す。
• A において非自明な射 f は f² = 1 を満たすが、B において f の像は 1 である一方で、唯一の2-関手は f を 0 に送る。
• 三同値性に必要な局所的双同値性に欠けることから、包含写像 Gray → Bicat が三同値でないことを証明する。
• 三同値写像 Φ: Gray → Bicat が存在すると仮定し、それが包含写像と双同値である必要があることを示し、矛盾に至る。
• 終端2-圏 1 の普遍性を用いて、Φ が任意の2-圏 B に対して Bicat(1, B) ≃ B を保存する必要があることを示す。
• 文献[2]における整合性結果（任意の三圏はGray-圏と三同値であり、標準的構成 st: Bicat → Gray は局所的に双同値だが三同値ではない）を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bicat と Gray が類似した構造を持つ弱い3-圏であるにもかかわらず、三圏 Bicat が三圏 Gray と三同値であるか？
• RQ2 2-圏間の任意の擬関手が、三同値における局所的双同値性を満たすために必要な、2-関手からの擬自然変換として得られるか？
• RQ3 任意の2-圏が2-圏に双同値であるにもかかわらず、包含写像 Gray → Bicat が三同値である可能性はあるか？
• RQ4 文献[2]の5.6節における主張（Bicat が Gray と三同値である）は正しいのか、それとも整合性結果の誤解に基づくものか？
• RQ5 標準的関手 st: Bicat → Gray が局所的に双同値であるならば、なぜそれが三同値でないのか？

主な発見

• 包含関手 Gray → Bicat は、2-圏 A と B を用いた反例により、局所的に双同値でないため三同値でないことが示された。
• A から B へのホモーモルフィズムが任意の2-関手と擬自然同値でないことが判明し、すべての擬関手が要求される意味で2-関手と同値であるとは限らないことを示した。
• 任意の2-圏が2-圏に双同値である一方で、Bicat は Gray と三同値でない。また、Bicat はある Gray-圏と三同値であるが、Gray 自身とは三同値でない。
• 文献[2]で構成された標準的三準同型 st: Bicat → Gray は局所的に双同値だが三同値ではなく、[2]の5.6節における主張と矛盾する。
• 任意の仮想の三同値写像 Φ: Gray → Bicat は包含関手と双同値でなければならないが、これは不可能であるため、このような三同値写像は存在しない。
• 終端2-圏 1 は任意の三同値写像によって三端末対象に送られ、Φ の構造が包含関手と同値であることを強制し、矛盾に至る。