[論文レビュー] Bicategorical homotopy pullbacks

Antonio M. Cegarra, B. A. Heredia+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、双圏におけるQuillenの定理Bを拡張し、双圏間の弱関手および余弱関手の図式によって誘導される分類空間のホモトピー fibre 積をモデル化する双圏的ホモトピー下付き積の構成を確立することで、双圏へと一般化する。適切な条件下で、この双圏的ホモトピー下付き積の分類空間は、位相的ホモトピー fibre 積とホモトピー同値であることを証明し、高次圏論および代数的K理論における古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

The homotopy theory of higher categorical structures has become a relevant part of the machinery of algebraic topology and algebraic K-theory, and this paper contains contributions to the study of the relationship between Bénabou's bicategories and the homotopy types of their classifying spaces. Mainly, we state and prove an extension of Quillen's Theorem B by showing, under reasonable necessary conditions, a bicategory-theoretical interpretation of the homotopy-fibre product of the continuous maps induced on classifying spaces by a diagram of bicategories $\mathcal{A} o\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{A}'$. Applications are given for the study of homotopy pullbacks of monoidal categories and of crossed modules.

研究の動機と目的

• 圏から高次圏的構造へと適用範囲を拡張するため、双圏の文脈におけるQuillenの定理Bを一般化すること。
• 弱関手および余弱関手の間の双圏間の関手に対して、双圏的ホモトピー下付き積 $ F\downarrow F' $ を定義し、正しいホモトープ的構造を捉えること。
• この双圏的下付き積の分類空間と、それらの関手が誘導する分類空間への写像のホモトピー fibre 積との間のホモトピー同値性を確立すること。
• モノイダル圏や交叉モジュールを双圏的技法を用いてホモトピー下付き積を研究するための枠組みを提供すること。
• 双圏的文脈における分類空間構成の自然性およびホモトピー不変性を証明することで、カテゴリー的および位相的ホモトピー構成を統一すること。

提案手法

• 0-セルが三重組 $ (a, f, a') $ である双圏 $ F\downarrow F' $ を構成し、$ f:Fa \to F'a' $ は $ \mathcal{B} $ 内の1-セルである。1-セルは三重組 $ (u, \beta, u') $ で、1-セルと2-セル $ \beta $ が整合性条件を満たすものである。
• 2-セルを2-セルの対 $ (\alpha, \alpha') $ として定義し、$ \beta $ と整合性を持つ条件を満たすことで、構造が適切に定義された双圏となるように保証する。
• 単体的圏のナーヴおよび幾何的実現を用いて分類空間 $ \mathrm{B}\mathcal{B} $ をモデル化し、二単体的ナーヴ構成 $ \mathrm{N}\underline{\Delta}\mathcal{B} $ を活用する。
• Bousfield-KanおよびThomasonのホモトピーコロイミットに関する結果を用いて、$ |\Delta\mathcal{B}| $、すなわちナーヴの対角線と $ \mathrm{B}\mathcal{B} $ の間のホモトピー同値の鎖を確立する。
• Quillenの定理Bと類似した条件下で、標準的写像 $ \mathrm{B}(F\downarrow F') \to \mathrm{B}\mathcal{A} \times^h_{\mathrm{B}\mathcal{B}} \mathrm{B}\mathcal{A}' $ がホモトピー同値であることを証明する。
• 分類空間構成の自然性およびホモトピー逆写像を用いて、関手間の弱または余弱変換が、それらの分類空間写像の間のホモトピーを誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双圏的ホモトピー下付き積 $ F\downarrow F' $ の分類空間が、それらの関手が誘導する分類空間への写像のホモトピー fibre 積とホモトピー同値となる条件は何か？
• RQ2 弱関手または余弱関手の場合に、Quillenの定理Bを圏から双圏へどのように拡張できるか？
• RQ3 ホモトピー下付き積を高次圏論でモデル化する際の、コンma圏 $ F\downarrow F' $ の正しい双圏的類似物は何か？
• RQ4 弱関手間の変換が、それらの分類空間写像の間のホモトピーをどのように誘導するか？また、この構成は自然か？
• RQ5 モノイダル圏や交叉モジュールは、この双圏的ホモトピー下付き積構成の特別な場合としてどれほどまで現れるか？

主な発見

• 弱関手 $ F: \mathcal{A} \to \mathcal{B} $ と余弱関手 $ F': \mathcal{A}' \to \mathcal{B} $ を持つ双圏の図式に対して、双圏的ホモトピー下付き積 $ F\downarrow F' $ が定義され、コンマ圏の構成を一般化する。
• 誘導されたファイバー間の写像 $ \mathrm{B}(F\downarrow b_0) \to \mathrm{B}(F\downarrow b_1) $ がホモトピー同値である場合に、標準的写像 $ \mathrm{B}(F\downarrow F') \to \mathrm{B}\mathcal{A} \times^h_{\mathrm{B}\mathcal{B}} \mathrm{B}\mathcal{A}' $ がホモトピー同値であることが保証され、Quillenの定理Bが拡張される。
• 分類空間構成 $ \mathrm{B} $ はホモトピーコロイミットを保存し、自然なホモトピー同値 $ \kappa: |\Delta\mathcal{B}| \to \mathrm{B}\mathcal{B} $ を通じてホモトピー同値と整合性を持つ。
• 関手 $ F, F': \mathcal{B} \to \mathcal{B}' $ 間の弱または余弱変換 $ \alpha $ は、ホモトピー $ \mathrm{B}\alpha: \mathrm{B}F \Rightarrow \mathrm{B}F' $ を誘導し、分類空間関手の自然性を保証する。
• この構成は自然である。すべての写像、特にホモトピー同値を含め、弱関手に関して自然であるため、双圏的図式全体にわたって一貫性が保たれる。
• この結果はモノイダル圏や交叉モジュールに適用可能であり、分類空間を用いたホモトピー下付き積の研究のための双圏的枠組みを提供する。