[論文レビュー] Bicomplex algebra and function theory

Stefan Rönn|ArXiv.org|Jan 24, 2001

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 7被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、複素数対表現を用いて双複素数上の正則関数の包括的理論を構築し、複素解析を4次元実空間へ一般化する。双複素数のコーシー・リーマン方程式を確立し、すべての順序の導関数の存在を証明し、コーシーの定理および積分公式の双複素数版を導出し、4次元ラプラス方程式の因数分解と関連づけ、フイーター正則関数を含む新しい種類の微分可能関数を明らかにする。

ABSTRACT

This treatise investigates holomorphic functions defined on the space of bicomplex numbers introduced by Segre. The theory of these functions is associated with Fueter's theory of regular, quaternionic functions. The algebras of quaternions and bicomplex numbers are developed by making use of so-called complex pairs. Special attention is paid to singular bicomplex numbers that lack an inverse. The elementary bicomplex functions are defined and their properties studied. The derivative of a bicomplex function is defined as the limit of a fraction with nonsingular denominator. The existence of the derivative amounts to the validity of the complexified Cauchy-Riemann equations, which characterize the holomorphic bicomplex functions. It is proved that such a function has derivatives of all orders. The bicomplex integral is defined as a line integral. The condition for path independence and the bicomplex generalizations of Cauchy's theorem and integral formula are given. Finally, the relationship between the bicomplex functions and different forms of the Laplace equation is considered. In particular, the four-dimensional Laplace equation is factorized using quaternionic differential operators. The outcome is new classes of bicomplex functions including Fueter's regular functions. It is shown that each class contains differentiable functions.

研究の動機と目的

• 双複素数代数上の正則関数の厳密な理論を構築し、複素解析を4次元実空間へ拡張すること。
• 逆元を持たない特異な双複素数（非ゼロだが逆元を持たない元）の代数的問題と、関数論に与える影響を扱うこと。
• コーシーの積分公式や経路に依存しない性質を含む、古典的複素解析の結果の双複素数版を確立すること。
• 双複素数正則関数と4次元ラプラス方程式の解との関係を明らかにすること。
• フイーター正則関数に関連する新しい微分可能関数のクラスを特定・特徴づけること。

提案手法

• 双複素数およびクォータニオンを、複素数 a と b のペア (a,b) として表現することで、代数的演算と解析を簡略化する。
• 双複素数関数の導関数を、非特異な分母を持つ分数の極限として定義し、複素化されたコーシー・リーマン方程式を導出する。
• 双複素数関数の R⁴ 表現を用いて微分可能性を分析し、高階導関数を導出する。
• 双複素数積分を線積分として定義し、原始関数の存在をもって経路に依存しない条件を確立する。
• クォータニオン微分作用素を用いて4次元ラプラス方程式を因数分解し、双複素数正則関数から解を導出する。
• 双複素数解析関数の構造と積分的性質を分析するために、ツイニング数を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数対表現を用いて、双複素数正則関数をどのように定義・特徴づけられるか。
• RQ2 逆元を持たない双複素数（特異な双複素数）が、双複素数関数論に与える影響は何か。
• RQ3 双複素数の導関数および積分は、それらの複素数版をどのように一般化するのか。経路に依存しない条件は何か。
• RQ4 双複素数正則関数は、4次元ラプラス方程式の解とどのように関係しているか。
• RQ5 クォータニオン微分作用素による4次元ラプラス方程式の因数分解は、どのように新しい微分可能関数のクラスを生じさせるか。

主な発見

• 双複素数関数の導関数が存在するのは、複素化されたコーシー・リーマン方程式が満たされるときであり、これが双複素数正則関数の特徴づけとなる。
• 双複素数正則関数は、すべての順序の導関数を有し、複素関数の解析的性質を拡張する。
• 双複素数積分は線積分として定義され、原始関数が存在するとき、経路に依存しない。
• コーシーの定理および積分公式は双複素数空間へ一般化され、積分公式においてツイニング数が重要な役割を果たす。
• 4次元ラプラス方程式はクォータニオン微分作用素を用いて因数分解され、双複素数正則関数が複素数対成分において2次元の複素化ラプラス方程式を満たすことが明らかになった。
• 新しい微分可能関数のクラスが同定され、フイーター正則関数が双複素数正則関数の広いクラスに含まれることが示された。