[論文レビュー] Bicomplex Third-order Jacobsthal Quaternions

Gamaliel Cerda|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、双複素数上での3階線形再帰によって定義される、双複素3階ヤコブスティー・クaternionの新規列、すなわち双複素3階ヤコブスティー・クaternionを導入する。双複素数の性質を用いて、バイネット形式の公式、母関数、カッシーニの恒等式およびd’Ocagneの恒等式を導出し、4重対角行列を用いた行列式に基づく手法によりn番目の項を計算する新しい計算的手法を提示する。

ABSTRACT

The aim of this work is to consider the bicomplex third-order Jacobsthal quaternions and to present some properties involving this sequence, including the Binet-style formulae and the generating functions. Furthermore, Cassini's identity and d'Ocagne's identity for this type of bicomplex quaternions are given, and a different way to find the $n$-th term of this sequence is stated using the determinant of a four-diagonal matrix whose entries are bicomplex third-order quaternions.

研究の動機と目的

• 双複素数代数における3階ヤコブスティー数の一般化として、双複素3階ヤコブスティー・クaternionを定義し、その性質を調査すること。
• この数列に対してバイネット形式の公式と母関数を確立すること。
• 双複素クaternion数列に対してカッシーニの恒等式およびd’Ocagneの恒等式を証明すること。
• 双複素クaternionを成分とする4重対角行列の行列式を用いた、n番目の項を計算する代替手法を提示すること。

提案手法

• 双複素3階ヤコブスティー・クaternionは再帰関係により定義される：$\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)} = \mathrm{BC}_{J,n-1}^{(3)} + \mathrm{BC}_{J,n-2}^{(3)} + 2\mathrm{BC}_{J,n-3}^{(3)}$ であり、初期値は $\mathrm{BC}_{J,0}^{(3)} = i + j + 2ij$、$\mathrm{BC}_{J,1}^{(3)} = 1 + i + 2j + 5ij$、$\mathrm{BC}_{J,2}^{(3)} = 1 + 2i + 5j + 9ij$ である。
• 特性方程式 $x^3 - x^2 - x - 2 = 0$ の根 $\omega_1, \omega_2$ を用いてバイネットの公式を導出し、$\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)}$ を $\widehat{2} \cdot 2^n$、$\widehat{\omega_1} \cdot \omega_1^n$、$\widehat{\omega_2} \cdot \omega_2^n$ の線形結合として表現する。
• 再帰関係と初期条件に基づき母関数を構成し、数列の形式的べき級数表現を提供する。
• バイネットの公式の代数的変形と双複素クaternionの性質を用いて、カッシーニの恒等式およびd’Ocagneの恒等式を証明する。
• 初期項と再帰係数から得られる要素を持つ、$(n+1) \times (n+1)$ の4重対角行列の行列式を用いた、n番目の項を計算する新しい手法を提示する。
• 行列式の定式化では、係数 $r=1$、$s=1$、$t=2$ を用い、逆数およびスケーリングされた項を組み込むことで再帰関係と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双複素3階ヤコブスティー・クaternion数列は、双複素数体系内でどのように形式的に定義され、代数的に特徴付けられるか？
• RQ2 この数列のn番目の項に対する閉形式のバイネット形式の公式は何か？
• RQ3 この数列が満たす母関数および恒等式（例：カッシーニの恒等式、d’Ocagneの恒等式）は何か？
• RQ4 n番目の項は、構造化された行列の行列式を用いて計算可能か？もしそうなら、その行列の形は何か？
• RQ5 双複素数の代数的性質は、このクaternion数列の挙動と構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 双複素3階ヤコブスティー・クaternionのバイネットの公式は、$\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)} = \frac{1}{7}\left(\widehat{2} \cdot 2^{n+1} - \frac{\widehat{\omega_1} \omega_1^n - \widehat{\omega_2} \omega_2^n}{\omega_1 - \omega_2}\right)$ で与えられ、ここで $\widehat{2}, \widehat{\omega_1}, \widehat{\omega_2}$ は特性方程式の根から導かれる双複素クaternionである。
• 母関数は再帰関係と初期条件に基づき形式的べき級数として導出され、数列の解析的取り扱いを可能にする。
• カッシーニの恒等式およびd’Ocagneの恒等式がこの数列に対して確立され、古典的恒等式が双複素クaternionの文脈に拡張された。
• 初期項 $\mathrm{BC}_{J,0}^{(3)}$、$\mathrm{BC}_{J,1}^{(3)}$、$\mathrm{BC}_{J,2}^{(3)}$ および再帰係数のスケーリングされた項を含む、$(n+1) \times (n+1)$ の4重対角行列の行列式を用いた、n番目の項を計算する新しい手法が提示された。
• 恒等式 $\left(\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)}\right)^2 + \left(\mathrm{BC}_{J,n+1}^{(3)}\right)^2 + \left(\mathrm{BC}_{J,n+2}^{(3)}\right)^2 = \frac{1}{7}\left(3\cdot\widehat{2}^2 \cdot 2^{2n+2} - \widehat{2} \cdot 2^{n+2} \cdot \mathrm{BC}_{U,n}^{(3)} + 2ij\right)$ が証明され、平方和が双複素クaternionの線形結合に結びついた。
• 数列は $V_n^{(3)} = V_{n+3}^{(3)}$ を満たし、$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき $V_n^{(3)} = 2$、$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $V_n^{(3)} = -3$、$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき $V_n^{(3)} = 1$ である。この性質はバイネットの公式において中心的な役割を果たす。