[論文レビュー] Biconformal changes of metric and pseudo-harmonic morphisms

Radu Slobodeanu|ArXiv.org|Aug 27, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体上の計量の双共形変換を考察し、水平分布におけるほぼ複素構造の調和性と整合性を保つ写像である擬調和モルフィズムが、このような計量変換のもとで不変であることを証明する。主な結果は、PHWC（擬水平的弱共形）およびPHH（擬水平的等長）条件に加え、調和性が双共形変換のもとでも保存されることを示しており、PHH調和モルフィズムが不変であるのは、共形因子が定数である場合に限ることを示している。

ABSTRACT

Pseudo-harmonic morphisms give rise on the domain space to a distribution which admits an almost complex structure compatible with the given Riemannian metric. We shall show that this property, together with the harmonicity, are preserved by a biconformal change of the domain metric. The special case of the pseudo-horizontally homothetic harmonic morphisms is also treated.

研究の動機と目的

• 双共形計量変更が擬調和モルフィズムの幾何的性質に与える影響を調査すること。
• PHWC（擬水平的弱共形）およびPHH（擬水平的等長）条件が、どの計量変換のもとで保存されるかを特定すること。
• ケーラー多様体へのファイブレーションの文脈において、双共形計量変更のもとでの調和性の不変性を分析すること。
• PHH調和モルフィズムが計量変形のもとで調和的かつ擬調和的である条件を確立すること。
• 双共形変換を用いて、既知の調和モルフィズムに関する結果を、より広いクラスの擬調和モルフィズムへと拡張すること。

提案手法

• 水平分布および垂直分布に独立した共形因子σおよびρを用いて定義される双共形計量変更g̅ = σ⁻²gᴴ + ρ⁻²gⱽを導入する。
• Koszulの公式および適合した正規直交枠を用いて、変換された緊張場τ̅(φ)を導出し、τ̅(φ) = σ²[τ(φ) + dφ(grad(ln(ρ²ⁿ⁻ᵐσ²⁻²ⁿ)))]であることを示す。
• この公式を用いて、水平 bundle 上のf-構造F^φの発散の変化を計算し、F^φ div̅ᴴ F^φ = σ²[F^φ divᴴ F^φ + (2n−2)grad(ln σ)]を得る。
• PHH調和モルフィズムに対してτ(φ) = −(m−2n)dφ(μᵛ)という関係を適用し、計量変更のもとでの不変性を分析する。
• 水平接続∇̅ᴴの変換を適用し、PHH不変性の条件を導出する：すべてのX,Y ∈ Γ(ℋ)に対して∇̅ᴴ(X)F^φ(Y) = 0が成り立つこと。
• 変換された接続および発散項の分析により、PHH調和モルフィズムがgσのもとで保存されるのはσが定数である場合に限ることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの双共形計量変更のもとで、擬調和モルフィズムのPHWC条件が保存されるか。
• RQ2 緊張場はどのように双共形変更のもとで変化し、調和性はいつ不変のままであるか。
• RQ3 双共形計量変形のもとで、PHH（擬水平的等長）性質が保存される条件は何か。
• RQ4 調和性とPHH条件の両方を同時に保存する双共形変更のクラスは存在するか。
• RQ5 どの共形因子σに対して、PHH調和モルフィズムが計量変更gσ = σ⁻²gᴴ + σ^(4n−4)/(m−2n) gⱽのもとで保存されるか。

主な発見

• PHWCファイブレーションの緊張場は、双共形変更のもとでτ̅(φ) = σ²[τ(φ) + dφ(grad(ln(ρ²ⁿ⁻ᵐσ²⁻²ⁿ)))]と変化し、共形因子に明示的な依存関係を示す。
• 任意の滑らかなσ > 0に対して、gσ = σ⁻²gᴴ + σ^(4n−4)/(m−2n) gⱽを定義すると、φがgのもとで既に擬調和モルフィズムである場合に限り、擬調和モルフィズムの性質が保存される。
• PHH調和モルフィズムは、双共形変更gσのもとで保存されるのは、共形因子σが定数である場合に限る。
• PHH不変性の条件は、新しい計量のもとでF^φの水平発散が消えることと同値であり、これはσが定数である場合にのみ成立する。
• ファイバーの平均曲率はμ̅ᵛ = σ²[μᵛ + ℋ(grad(ln ρ))]と変化し、垂直共形因子に明示的な依存関係を示す。
• この結果は、既知の調和モルフィズムの不変性に関する性質を、双共形変更のもとでより広いクラスの擬調和モルフィズムへと一般化している。