[論文レビュー] Bide - Side Exponential and Moment Inequalities for Tails of Distributions of Polynomial Martingales

E. Ostrovsky|ArXiv.org|Jun 25, 2004

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、多項式マルティングールの尾分布に関する非漸近的指数的およびモーメント不等式を確立し、単位球面上の係数系列全体にわたる一様な境界を導出する。多項式マルティングール $ Q_d $ の尾の減衰は、一般化モーメント指数 $ M(d, \vec{q}) = \left(\frac{d}{2} + \sum_{m=1}^d \frac{1}{q(m)}\right)^{-1} $ によって支配され、マルティングール差 $ \xi(i,m) $ の周辺的尾の挙動に基づく鋭い境界が得られ、弱コンパクト性およびU統計への応用に拡張される。

ABSTRACT

In this paper non-asymptotic exponential estimates are derived for the tail distribution of polynomial martingale differences in terms unconditional tails distributions of summands. Applications are considered in the theory of polynomials on independent random variables, to the theory of U-statistics, multiply martingale series and in the theory of weak compactness measures on the Banach spaces. Partially supported by the Israel Ministry of Absorbtion Mathematics Subject Classification (2000): 47A45, 47B10, 60F10, 60G42.

研究の動機と目的

• 次数 $ d $ の多項式マルティングールの尾分布に対する非漸近的かつ係数に一様な指数的境界を導出すること。
• マルティングール差 $ \xi(i,m) $ の周辺的尾およびモーメント挙動を用いて、$ Q_d $ の尾の減衰を記述すること。
• 下界と上界が定数の違いを除いて一致する意味で最適な鋭い境界を確立すること。
• メトリックエントロピー条件を用いて、ランダムフィールドの弱コンパクト性および $ U $-統計への応用に結果を拡張すること。

提案手法

• $ Q_d = \sum_{I \in I(d,n)} b(I) \xi(I) $ を定義し、ここで $ \xi(I) = \prod_{m=1}^d \xi(i_m, m) $ であり、$ \xi(i,m) $ は中心化されたマルティングール差である。
• $ M(d, \vec{q}) = \left(\frac{d}{2} + \sum_{m=1}^d \frac{1}{q(m)}\right)^{-1} $ を導入し、これが $ Q_d $ の尾の減衰率を支配する。
• $ G(q) $ および一般化された $ G(q,r) $ 空間を用いて、$ \xi(i,m) $ の尾およびモーメント挙動を特徴付ける。
• $ S(\vec{q}, x) = \sup_{b \in B} \sup_{\{\xi(i,m)\}} T(Q_d, x) $ に対する一様な境界を確立し、ここで $ T(\cdot, x) $ は対称的尾確率を表す。
• メトリックエントロピーおよびメジャライジング測度技法を用いて、ランダムフィールド $ \tau(t) $ および $ \zeta(t) $ のほとんど確実な一様収束のための条件を導出する。
• 積の差の恒等式を用いて、$ \zeta(t_1) - \zeta(t_2) $ を $ \xi(i,m,t) $ の差の項で抑え、主不等式の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ Q_d $ の同次多項式マルティングールの鋭い非漸近的尾の減衰率は、その成分の周辺的尾の挙動を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 $ \xi(i,m) $ の周辺的尾およびモーメント条件のみが与えられた場合、係数系列 $ b \in B(d,n) $ 全体にわたる $ Q_d $ の尾の挙動を一様に抑えられるか？
• RQ3 系の結果は、係数やランダムフィールドがパラメータに依存するランダムフィールド $ \tau(t) $ および $ \zeta(t) $ にどのように拡張できるか？
• RQ4 パラメータ空間 $ V $ にどのようなメトリックエントロピー条件が課されると、ランダムフィールド $ \zeta(t) $ は一様に収束し、ガウス型の尾の減衰を示すか？

主な発見

• $ \sup_i T(\xi(i,m), x) \leq \exp\left(-(x/K(m))^{q(m)}\right) $ を満たすとき、$ Q_d $ の尾は $ \exp\left(-\left[x/(C_1 K)\right]^M\right) \leq S(\vec{q}, x) \leq \exp\left(-\left[x/(C_2 K)\right]^M\right) $ を満たし、ここで $ M = M(d, \vec{q}) $ である。
• この境界は鋭い：不等式 (1.6) は、下界が上界と定数の違いを除いて一致するため、改善できない。
• 結果はランダムフィールド $ \tau(t) $ に拡張され、$ (V, r_1) $ にメトリックエントロピー条件がある限り、$ T(\sup_t |\tau(t)|, x) \leq \exp\left(-C_{10} x^{M(d,q)}\right) $ が成り立つ。
• パラメータ依存の $ \xi(i,m,t) $ の場合、$ (V, r_2) $ に同様のエントロピー条件が成り立つ限り、同じ尾の減衰が成立する。ここで $ r_2(t_1,t_2) = \sum_m \sup_i ||\xi(i,m,t_1) - \xi(i,m,t_2)||_{q(m)} $ である。
• メジャライジング測度技法を用いて、$ \zeta_\alpha(t) $ の分布族は適切な有界性およびエントロピー条件のもとで弱コンパクトである。