[論文レビュー] Biembedding Steiner Triple Systems and n-cycle Systems on Orientable Surfaces

Jeffrey H. Dinitz, Amelia R. W. Mattern|arXiv (Cornell University)|May 15, 2015

graph theory and CDMA systems被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、すべての $n \geq 3$ に対して、完全グラフ $K_{6n+1}$ の向きつけ可能二重埋め込みの存在を確立する。ここで各辺はスティーナー三元系からの3サイクルおよび $n$-サイクル系からの単純な $n$-サイクルの両方に属する。単純な行および列順序付けを持つヘッファー配列 $H(3,n)$ を用いて、ヘッファーシステムと巡回的サイクル分解の間の関係を介して、このような埋め込みを構成する。これは、向きつけ可能面上におけるスティーナー三元系と $n$-サイクル系の二重埋め込みに関する初めての一般結果を証明する。

ABSTRACT

In 2015, Archdeacon introduced the notion of Heffter arrays and showed the connection between Heffter arrays and biembedding m-cycle and an n-cycle systems on a surface. In this paper we exploit this connection and prove that for every n >= 3 there exists an orientable embedding of the complete graph on 6n+1 vertices with each edge on both a 3-cycle and an $n$-cycle. We also give an analogous (but partial) result for biembedding a 5-cycle system and an n-cycle system.

研究の動機と目的

• スティーナー三元系と $n$-サイクル系が同じ面上に向きつけ可能二重埋め込み可能である $K_{6n+1}$ の存在を確立すること。
• アーチデーアックのヘッファーパターンと二重埋め込みの関係を活用して、このような埋め込みを構成すること。
• すべての $n \geq 3$ に対して、各辺が3サイクルおよび単純な $n$-サイクルの両方に属する巡回的二重埋め込みが存在することを証明すること。
• $K_{10n+1}$ に対して、$3 \leq n \leq 100$ の範囲で5サイクル系と $n$-サイクル系の部分的結果への方法の拡張。

提案手法

• スティーナー三元系および $n$-サイクル系の分解を符号化するための組合せ的枠組みとして、ヘッファーパターン $H(3,n)$ を用いる。
• ヘッファーパターンの行および列における単純な順序付けの概念を用いて、面サイクルが単純かつ繰り返しのないことを保証する。
• アーチデーアックの命題 2.1 を適用して、単純なヘッファーシステムと $K_v$ の巡回的 $k$-サイクル分解を結びつける。
• オイラーの公式を用いて、向きつけ可能面上の genus $g = 1 - \frac{1}{2}\left[6n+1 + \binom{6n+1}{2}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{n} - 1\right)\right]$ を計算する。
• $H(5,n)$ パターンの行の計算的再順序付けを用いて、$3 \leq n \leq 100$ の範囲で単純な行順序付けを達成し、$K_{10n+1}$ の二重埋め込みを可能にする。
• 定理 3.5 に依存して、すべての $n \geq 3$ に対して単純な $H(3,n)$ パターンが存在することを保証し、主結果の実現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n \geq 3$ に対して、$K_{6n+1}$ にスティーナー三元系と $n$-サイクル系の向きつけ可能二重埋め込みが存在するか？
• RQ2 単純な行および列順序付けを持つヘッファーパターン $H(3,n)$ を構成できるか、これにより面サイクルが単純になるか？
• RQ3 $K_{6n+1}$ が3サイクルおよび $n$-サイクルとともに向きつけ可能面上に二重埋め込まれる際の、その面上の genus は何か？
• RQ4 この方法を $K_{10n+1}$ に拡張し、$n \geq 3$ の範囲で5サイクル系と $n$-サイクル系の二重埋め込みが可能か？
• RQ5 ヘッファーパターン $H(m,n)$ の一般構成法は、向きつけ可能面上における $m$-サイクル系と $n$-サイクル系の二重埋め込みをもたらすか？

主な発見

• すべての $n \geq 3$ に対して、$K_{6n+1}$ に向きつけ可能二重埋め込みが存在し、各辺が3サイクルおよび単純な $n$-サイクルの両方に属する。
• 二重埋め込みは $6n+1$ を法とする巡回的である。スティーナー三元系および $n$-サイクル系は、辺集合の巡回的分解から生じる。
• 向きつけ可能面上の genus は $g = 1 - \frac{1}{2}\left[6n+1 + \binom{6n+1}{2}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{n} - 1\right)\right]$ で与えられ、$n = 5$ のとき $g = 94$ である。
• $3 \leq n \leq 100$ の範囲で、単純な $5 \times n$ ヘッファーパターンが存在し、これにより $K_{10n+1}$ に5サイクル系と $n$-サイクル系の二重埋め込みが可能である。
• この構成は、$H(3,n)$ パターンにおける単純な順序付けの存在に依存しており、定理 3.5 によりすべての $n \geq 3$ に対してその存在が証明されている。
• この方法は他の $m \times n$ ヘッファーパターンへ一般化可能であり、向きつけ可能面上における $m$-サイクル系と $n$-サイクル系の二重埋め込みへの広範な適用可能性を示唆する。