[論文レビュー] Bifundamental Multiscalar Fixed Points in $d=3-ε$

Samarth Kapoor, Shiroman Prakash|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$d=3-\epsilon$次元における$O(N)\times O(M)/\mathbb{Z}_2$対称性をもつ双基本的多スカラー固定点を研究し、三臨界セクシティック・ベクトル模型の一般化を行う。大$N$および大$M/N$展開を用いて、$d=3-\epsilon$において$\mathcal{O}(\epsilon^2)$の精度で一意な赤外固定点を同定し、$\epsilon \sim O(M/N)$においてそれと合体する紫外固定点が存在することを示唆しており、これはアインシュタイン重力の非超対称的CFT双対の可能性を示唆している。

ABSTRACT

We study fixed-points of scalar fields that transform in the bifundamental representation of $O(N) imes O(M)$ in $3-ε$ dimensions, generalizing the classic tricritical sextic vector model. In the limit where $N$ is large but $M$ is finite, we determine the complete beta function to order $1/N$ for arbitrary $M$. We find a rich collection of large-$N$ fixed-points in $d=3$, as well as fixed-points in $d=3-ε$, that can be studied to all orders in the parameter $\hatε=Nε$. With the goal of defining a large-$N$ nonsupersymmetric conformal field theory dominated by a web of planar diagrams, we also study fixed-points in the ``bifundamental'' large-$N$ limit, in which $M$ and $N$ are both large, but the ratio $M/N$ is held fixed. We find a unique infrared fixed-point in $d=3-ε$, which we determine to order $ε^2$. When $M/N \ll 1$, we also find an ultraviolet fixed-point in $d=3$ and $d=3-ε$ that merges with the infrared fixed-point at $ε\sim O(M/N)$. We expect at least one of two candidate fixed-points in integer dimensions -- the infrared fixed-point in $d=2$ and the ultraviolet fixed-point in $d=3$ -- to survive for finite values of $M/N$.

研究の動機と目的

• 大$N$および大$M/N$の極限において、$d=3-\epsilon$次元における$O(N)\times O(M)/\mathbb{Z}_2$対称性をもつスカラー理論の conformal 固定点の存在と構造を調査すること。
• 有限$M$における大$N$極限および$M/N$を固定する双基本的大$N$極限において、このような理論の相図を調査すること。
• プランル図式支配とヒルバート的双対がアインシュタイン重力である非超対称的CFTが存在するという予想を、制御された$\epsilon$-展開による固定点解析を通じて検証すること。
• 安定性行列に複素数または純虚数固有値をもつ非自明な固定点を同定することにより、極限サイクルや特異なRGフローの兆候を特定すること。

提案手法

• 有限$M$における大$N$極限において、摂動的$\epsilon$-展開と大$N$技術を用いて、$\mathcal{O}(1/N)$の精度で完全なベータ関数を導出する。
• メトリック$T$を2点関数の逆行列から得る方法を用いて、ベータ関数をポテンシャルの勾配として表現する勾配フロー形式を適用する。
• 大$N$極限および$M/N$が有限の極限における固定点を体系的に分析し、固定点構造における$\mathcal{O}(\epsilon^2)$補正を含む。
• $\hat{\epsilon} = N\epsilon$パラメータを用いて理論をスケーリングし、$\hat{\epsilon}$のすべての次数において固定点を研究する。これにより、制御された展開が可能になる。
• 安定性行列$\partial\beta_i / \partial g_j$を分析し、極限サイクルを示唆する可能性のある複素数または純虚数固有値をもつ非自明な固定点を検出する。
• カテゴリー理論的表現を用いて$O(M)$対称性を定式化し、非整数$M$における解析を拡張し、非ユニタリ領域および特異なRGフローの可能性を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限$M/N$における大$N$極限において、$O(N)\times O(M)/\mathbb{Z}_2$双基本的スカラー理論が$d=3-\epsilon$において一意な赤外固定点をもつか？
• RQ2 $M/N \ll 1$のとき、$d=3$において紫外固定点が出現し、$\epsilon \sim O(M/N)$において赤外固定点と合体するか？
• RQ3 安定性行列に複素数または純虚数固有値をもつ固定点は存在するか？ これは極限サイクルや非自明なRGフローを示唆する可能性がある。
• RQ4 $\epsilon$-展開および固定点構造から示唆されるように、プランル図式の網目構造とアインシュタイン重力のヒルバート的双対を持つ非超対称的CFTを理論が実現可能か？

主な発見

• 有限$M/N$において、$d=3-\epsilon$に一意な赤外固定点が存在し、$\mathcal{O}(\epsilon^2)$の精度で同定された。その結合定数は$M/N$および$\epsilon$に依存する。
• $M/N \ll 1$のとき、$d=3$および$d=3-\epsilon$に紫外固定点が出現し、$\epsilon \sim O(M/N)$において赤外固定点と合体する。
• 範囲$0 < M < 2$における非整数$M$では、安定性行列に複素固有値をもつ固定点が現れ、螺旋状のRG軌道を示唆するが、純虚数固有値は得られず、極限サイクルは発生しない。
• $-3 < M < 0$の範囲では、純虚数固有値をもつ固定点は存在せず、$M < -3$では逆メトリックが負定値となるため、非自明な固定点は排除される。
• 整数次元（$d=3$および$d=2$）における固定点は、有限$M/N$においても存続すると予想され、少なくとも赤外（$d=2$）または紫外（$d=3$）固定点の一方は物理的であると予想される。
• 理論は、$d=3$において大$N$固定点の豊富な構造を支持しており、特異な安定性行列性質をもつ非ユニタリ固定点を含むが、極限サイクルは実現されない。