[論文レビュー] Bifurcation and multiplicity results for critical fractional p-Laplacian problems

Kanishka Perera, Marco Squassina+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 37被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、臨界的分数階 $p$-ラプラシアン問題における分岐および多重解の結果を確立し、$p=2$ の半線形（semilinear）の場合におけるBrézis-Nirenbergの結果を、すべての $p \in (1,\infty)$ に対して、非局所的擬線形設定へと拡張する。$\mathbb{Z}_2$-コhomologicalインデックスと擬似インデックスに基づく、新しい抽象的臨界点定理を用いて、パrameter $\lambda$ が $(k+1)$-番目の固有値 $\lambda_{k+1}$ に近づくにつれて、ゼロに収束する $m$ 組の非自明な解が存在することを証明する。この条件は、最良のソボレフ定数と領域の測度を含む鋭い条件である。

ABSTRACT

In this paper we investivate bifurcation results for a class of problem in a smooth bounded domain involving the fractional p-Laplacian operator and with a nonlinearity that reaches the critical growth with respect to the fractional Sobolev embedding.

研究の動機と目的

• 臨界的分数階ラプラシアン（$p=2$）に対する古典的なBrézis-Nirenbergの分岐および多重性結果を、すべての $p \in (1,\infty)$ に対して、擬線形で非局所的な $p$-ラプラシアン設定へと拡張すること。
• 線形固有空間を持たない（$p \neq 2$ のとき）非局所的・非線形作用素を伴う臨界的分数階 $p$-ラプラシアン問題に対して、複数の非自明な弱解の存在を確立すること。
• $p \neq 2$ の $p$-ラプラシアンの非楕円的・非線形設定に適した、$\mathbb{Z}_2$-cohomologicalインデックスに関連する擬似インデックスに基づく新しい抽象的臨界点定理の構築。
• $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$ のとき、解が $(k+1)$-番目の固有値 $\lambda_{k+1}$ から分岐し、ノルムに関してゼロに収束することを証明すること。このときの条件は、最良のソボレフ定数と領域の測度を含む鋭い条件である。

提案手法

• 著者たちは、臨界的分数階 $p$-ラプラシアン問題に関連するエネルギー汎関数 $I_\lambda$ を用いた変分的枠組みを用いる。この汎関数は、ゼロ境界値をもつ分数階ソボレフ空間 $X_p^s(\Omega)$ 上で定義される。
• $c < \frac{s}{N} S_{s,p}^{N/sp}$ の範囲で $(\text{PS})_c$ 条件を確立し、最良のソボレフ埋め込み定数に関連する臨界レベル以下のパライス・スメール列のコンパクト性を保証する。
• 擬似インデックスの構成と $\mathbb{Z}_2$-cohomologicalインデックスを用いた、擬線形状況における線形部分空間の欠如に対処する新しい抽象的臨界点定理を考案する。
• 証明は、インデックス $i(A_0) = k+m$ および $i(S_1 \setminus B_0) = k$ を満たす対称的かつコンパクトな部分集合 $A_0 \subset \Psi^{\lambda_{k+m}}$ と $B_0 = \Psi_{\lambda_{k+1}}$ の構成に依存し、抽象定理の幾何的条件を満たす。
• $I_\lambda$ は、異なる集合上で評価される：$r$ が小さいとき $B_0$ 上で $I_\lambda > 0$、$R$ が大きいとき $A$ 上で $I\_\lambda \leq 0$、および $\sup I_\lambda(X) < \frac{s}{N} S_{s,p}^{N/sp}$ であり、これにより抽象定理を用いて $m$ 個の臨界点の存在が保証される。
• $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$ のとき、解のゼロ収束は恒等式 $|u_j^\lambda|_{p_s^*}^{p_s^*} = \frac{N}{s} I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$ を用いて示され、$\|u_j^\lambda\| \to 0$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界的分数階ラプラシアン（$p=2$）に対する分岐および多重性結果を、すべての $p \in (1,\infty)$ に対して、擬線形 $p$-ラプラシアン設定に拡張できるか。
• RQ2 $p \neq 2$ のとき線形固有空間を持たない分数階 $p$-ラプラシアンに対して、臨界点理論をどのように構築できるか。
• RQ3 $\lambda_{k+1}$ の近くに $m$ 組の非自明な解が存在するための $\lambda$ の正確な条件は何か。この条件は、最良のソボレフ定数と領域の測度とどのように関係するか。
• RQ4 $\lambda$ が $\lambda_{k+1}$ に近づくとき、解はどのように振る舞うか。また、そのゼロへの収束は定量的に特徴付けられるか。

主な発見

• $\lambda_k < \lambda < \lambda_{k+1}$ および $\lambda > \lambda_{k+1} - \frac{S_{s,p}}{|\Omega|^{2s/N}}$ のとき、問題は $m$ 組の非自明な弱解 $\pm u_j^\lambda$ を持つ。ここで $m$ は $\lambda_{k+1}$ の重複度である。
• 解は $0 < I_\lambda(u_j^\lambda) \leq \frac{s}{N} |\Omega| (\lambda_{k+1} - \lambda)^{N/sp} \to 0$ を満たし、エネルギーに関してゼロに収束することを示す。
• $L^{p_s^*}$-ノルムに関しては、$|u_j^\lambda|_{p_s^*}^{p_s^*} = \frac{N}{s} I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$ であり、$L^{p_s^*}(\Omega)$ 上での強い収束を示す。
• $X_p^s(\Omega)$-ノルムに関しては、$\|u_j^\lambda\| \to 0$ となる。これは $L^p$-ノルムの収束とエネルギーの有界性による。
• $(\text{PS})_c$ 条件の臨界レベル $\frac{s}{N} S_{s,p}^{N/sp}$ は鋭く、抽象的臨界点定理はこの閾値より厳密に下で適用される。
• 本稿は、$\mathbb{Z}_2$-cohomologicalインデックスと擬似インデックスに基づく、新しい抽象的臨界点定理を構築した。この定理は、$p \neq 2$ の非楕円的・非線形設定において不可欠である。