[論文レビュー] Bifurcation from infinity for elliptic problems on $R^N$

Aleksander Ćwiszewski, Wojciech Kryszewski|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 上の半線形シュレーディンガー方程式における無限大からの漸近的分岐の条件を確立する。分岐は、パラメータ $\lambda_0$ が本質的スペクトルより下にある孤立した固有値で、その重複度が奇数であり、Landesman-Lazer または符号型の共鳴条件を満たす場合に発生することを示している。証明は、$H^1(\mathbb{R}^N)$ 内の非有界解に対して一般化されたコンリー指数と位相的デグリーの議論を用い、分岐をシュレーディンガー作用素の束縁状態に関連づけている。

ABSTRACT

In the paper the asymptotic bifurcation of solutions to a parameterized stationary semilinear Schr\"odinger equation involving a potential of the Kato-Rellich type is studied. It is shown that the bifurcation from infinity occurs if the parameter is an eigenvalue of the hamiltonian lying below the asymptotic bottom of the bounded part of the potential. Thus the bifurcating solution are related to bound states of the corresponding Schr\"odinger equation. The argument relies on the use of the (generalized) Conley index due to Rybakowski and resonance assumptions of the Landesman-Lazer or sign-condition type.

研究の動機と目的

• パrameter化された半線形シュレーディンガー方程式の $\\mathbb{R}^N$ 上における解の漸近的分岐を特徴づけること。
• ハミルトニアンの固有値に近づくパラメータ $\lambda$ に伴い、解が無限大から分岐する条件を特定すること。
• 漸近的分岐とシュレーディンガー方程式における束縁状態の存在との間の関係を確立すること。
• Kato-Rellich型ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素のスペクトル理論を組み込むことで、有界領域からの分岐理論を非有界領域へ拡張すること。
• 一般化されたコンリー指数や共鳴条件（Landesman-Lazer または符号型）などの位相的道具を、非有界解分岐枝に適用すること。

提案手法

• Rybakowski による一般化されたコンリー指数理論を用いて、半線形楕円型方程式に関連する半フローの力学を分析する。
• Toland の反転技法を適用し、変換された問題におけるゼロからの分岐と漸近的分岐を関連付ける。
• 共鳴の存在下での位相的デグリーの議論を実施し、奇数重複度固有値条件と Landesman-Lazer または符号型条件に依存する。
• ハミルトニアン $A = -\Delta + V(x)$ のスペクトル分解を、スペクトル部分空間 $X_0$、$X_+$、$X_-$ に施し、$X_0$ を孤立した固有値 $\lambda_0$ に対応させる。
• エネルギー推定と、$-(A - \lambda I)$ が生成する半群に関する減衰推定を用いて、解の有界性を確立する。$L^2$ および $H^1$ のノルムを用いる。
• $H^1(\mathbb{R}^N)$ 内の隔離近傍とホモトピー指数の連続性を用い、$\lambda_0$ で分岐がないと仮定した場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半線形シュレーディンガー方程式が $\mathbb{R}^N$ 上で定義される場合、パrameter値 $\lambda_0$ における漸近的分岐が発生する条件は何か？
• RQ2 ハミルトニアン $A = -\Delta + V(x)$ のスペクトル的性質、特に $\lambda_0$ が本質的スペクトルに対して相対的にどこにあるかが、無限大からの分岐にどのように関係するか？
• RQ3 固有値の重複度が偶数である場合、Landesman-Lazer または符号型の共鳴条件が、分岐を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 非コンパクト作用素を有する非有界領域において、一般化されたコンリー指数を無限大からの分岐を検出するために効果的に用いることができるか？
• RQ5 非線形項 $f(x,u)$ が $|u| \to \infty$ で示す挙動は、非有界解分岐枝の存在にどのように影響するか？

主な発見

• 漸近的分岐は、$\lambda_0$ がハミルトニアン $A = -\Delta + V(x)$ の本質的スペクトルより下にある孤立した固有値で、その重複度が奇数である場合に発生する。
• 孤立した固有値の重複度が偶数である場合、$f(x,u)$ が $|u| \to \infty$ で Landesman-Lazer 型または符号型の共鳴条件を満たす場合、漸近的分岐が保証される。
• 分岐する解は、シュレーディンガー方程式の束縁状態に関連しており、すなわち本質的スペクトルの下限より低いエネルギーを持つ解である。
• 証明はホモトピー指数の連続性と背理法に依存する：分岐がないと仮定すると、非自明な指数の変化が生じ、奇数重複度の仮定に矛盾する。
• 有界解の集合は $H^1(\mathbb{R}^N)$ 内で一様有界であり、スペクトル射影の $L^2$ および $H^1$ ノルムを用いて $H^1$ 内の隔離近傍が構成される。
• 主な矛盾は、隔離近傍の境界における $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|Pu(t)\|^2_{L^2}$ の符号に起因する。これは半フローの不変性を破る。