[論文レビュー] Bifurcation from semi-trivial standing waves and ground states for a system of nonlinear Schrödinger equations

Mathieu Colin, Masahito Ohta|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、プラズマ中のラマン増幅をモデル化する2成分非線形シュレーディンガー系において、半自明な定常波および基底状態からの分岐を調査する。変分法および分岐論を用いて、γ = 1で非自明な定常波が出現することを確立し、その軌道的安定性をκに依存して特定する。κ < 0のとき安定、κ > 0のとき不安定、κ = 0のとき臨界定常状態となる。

ABSTRACT

We consider a system of nonlinear Schrödinger equations related to the Raman amplification in a plasma. We study the orbital stability and instability of standing waves bifurcating from the semi-trivial standing wave of the system. The stability and instability of the semi-trivial standing wave at the bifurcation point are also studied. Moreover, we determine the set of the ground states completely.

研究の動機と目的

• 2成分非線形シュレーディンガー系において、半自明解 (0, e^{2iωt}φ_ω) から生じる非自明な定常波解の分岐構造を分析すること。
• 特にγ = 1における半自明状態からの分岐する定常波の軌道的安定性および不安定性を特定すること。
• 変分法および対称性の議論を用いて、系のすべての基底状態の集合を完全に特徴付けること。
• γ = 1におけるパラメータκが安定性に与える役割、特にその符号依存性を解明すること。

提案手法

• 非自明解の局所的分岐点としてγ = 1を同定するため、Crandall-Rabinowitzの局所的分岐定理を適用する。
• 基底状態φ_ωを、H^1(ℝ^N)  \{0 } 内で比 ‖v‖_{H^1_ω}^2 / ‖v‖_{L^3}^2 を最小化するものとして変分的に特徴付ける。
• エネルギー関数E(𝐮)および電荷関数Q(𝐮)を用いて、空間X = H^1(ℝ^N, ℂ)^2 内での基底状態の制約付き最小化問題を定式化する。
• ゲージ対称性および位相対称性を記述する群作用G(θ)およびJを導入し、それらを用いて解を軌道的同値類で分類する。
• ホルダーおよびガリャルディーニョ＝ニレングラッハの不等式を用いて、解のL^3ノルムに関する必要条件を導出し、(5.5)に示される不等式系に至る。
• 作用関数S_ω(𝐮) = d(ω) の恒等式を用いて、作用関数と基底状態エネルギーの関係を導出し、臨界定数ℓ = 6d(ω)/‖φ_ω‖_{L^3}^3 を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 γ = 1における半自明解 (0, e^{2iωt}φ_ω) から生じる定常波解の構造はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 γ = 1におけるパラメータκの符号が分岐する解の軌道的安定性に与える影響は何か？
• RQ3 本系の完全な基底状態の集合は何か？ また、変分的にどのように特徴づけられるか？
• RQ4 (κ, γ) がどのような条件下で、半自明状態を超える非自明な基底状態を有するか？
• RQ5 成分のL^3ノルムは、系の安定性および分岐構造にどのように関係するか？

主な発見

• γ < 1のとき、半自明定常波 (0, e^{2iωt}φ_ω) は軌道的安定である。γ > 1のとき、κに依存せず不安定である。
• γ = 1のとき、半自明解の安定性はκに依存する：κ < 0のとき安定、κ > 0のとき不安定、κ = 0のとき臨界定常状態となる。
• (κ, γ) ∈ 𝒦₁ のとき、基底状態の集合ℒ_ωは、(e^{iθ₁}α₊φ_ω(·+y₁), e^{iθ₂}β₋φ_ω(·+y₂)) の形の解からなる。ただし2θ₁ − θ₂ ∈ 2πℤ かつ y₁ = y₂ を満たす。
• (κ, γ) ∈ 𝒦₂ のとき、唯一の基底状態は (0, e^{iθ}φ_ω(·+y)) の形、すなわち半自明状態に対応する。
• (κ, γ) ∈ 𝒦₃ のとき、基底状態は半自明状態または𝒦₁からの分岐状態のどちらかに依存して決まる。
• 基底状態の集合は完全に特徴づけられる：(κ, γ) ∈ 𝒦₁ ならばℒ_ω = ℒ_ω¹、(κ, γ) ∈ 𝒦₂ ならばℒ_ω = ℒ_ω⁰、(κ, γ) ∈ 𝒦₃ ならばℒ_ω = ℒ_ω⁰ ∪ ℒ_ω¹ となる。