[論文レビュー] Bifurcation in entanglement renormalization group flow of a gapped spin model

Jeongwan Haah|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Oct 16, 2013

Quantum many-body systems被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、3次元立方格子模型の基底状態が有限深さの量子回路下で、双方向に分岐するエンタングルメント・レノルミング・グループ（ERG）フローを示すことを示している。このフローにより、格子定数 $a$ の系が、より粗い格子定数 $2a$ 上の2つの異なるギャップを持つスピン模型 $H_A$ と $H_B$ のテンソル積に写像される。主な結果は、$H_A$ と $H_B$ が相異なる量子相を表しており、特に $H_B$ が自身の2つのコピーに分解されることから、長距離トポロジカルオーダーの背後にある階層的かつ分岐構造を持つエンタングルメントが明らかになることである。

ABSTRACT

We study entanglement renormalization group transformations for the ground states of a spin model, called cubic code model $H_A$ in three dimensions, in order to understand long-range entanglement structure. The cubic code model has degenerate and locally indistinguishable ground states under periodic boundary conditions. In the entanglement renormalization, one applies local unitary transformations on a state, called disentangling transformations, after which some of the spins are completely disentangled from the rest and then discarded. We find a disentangling unitary to establish equivalence of the ground state of $H_A$ on a lattice of lattice spacing $a$ to the tensor product of ground spaces of two independent Hamiltonians $H_A$ and $H_B$ on lattices of lattice spacing $2a$. We further find a disentangling unitary for the ground space of $H_B$ with the lattice spacing $a$ to show that it decomposes into two copies of itself on the lattice of the lattice spacing $2a$. The disentangling transformations yield a tensor network description for the ground state of the cubic code model. Using exact formulas for the degeneracy as a function of system size, we show that the two Hamiltonians $H_A$ and $H_B$ represent distinct phases of matter.

研究の動機と目的

• 局所的に区別できないことと、系のサイズに依存する degeneracy を示す3次元立方格子模型の基底状態の長距離エンタングルメント構造を理解すること。
• 特に非自明なトポロジカルオーダーを示すこの模型において、エンタングルメント・レノルミング・グループ（ERG）変換がその背後にある相構造を明らかにできるかを調査すること。
• 局所ユニタリ変換下でのERGフローの振る舞いと縮退スケーリングの分析を通じて、得られる相を分類すること。
• 系を粗い格子上での独立な成分に分解する、非エンタングルユニタリを用いたテンソルネットワーク記述を通じて、基底状態を確立すること。

提案手法

• 有限深さの量子回路（局所ユニタリ変換）を用いてキュービットを非エンタングル化し、系を粗化し、元の格子定数 $a$ をより粗い格子定数 $2a$ に写像する。
• 基底状態 $H_A(a)$ を、$H_A(2a)$ と $H_B(2a)$ の基底状態のテンソル積に写像する正確な非エンタングルユニタリ $U$ と $V$ を導出する。同様に $H_B(a)$ は2つの $H_B(2a)$ のコピーに写像される。
• 系のサイズ関数としての基底状態の縮重度の正確な式を用いて、$H_A$ と $H_B$ が相異なる量子相であることを区別する。
• 局所ユニタリ操作によるフォン・ノイマンエントロピーの変化を制限する補題を用いて、分岐MERAフレームワークにおけるエンタングルメントエントロピーのスケーリングを分析する。
• 粗い格子上の状態のエントロピーのスケーリングを分析し、ERGフローの臨界的挙動、特に分岐数と空間次元の依存性を特定する。
• ERGフローが、分岐数 $b_n$ が $b^n$ のように増加する分岐構造をもたらし、$b$ がエンタングルメント構造の有効次元を決定することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方格子模型のエンタングルメント・レノルミング・グループ（ERG）フローは、粗い格子上に複数の相異なる有効ハミルトニアンを生じる分岐を示すか？
• RQ2 有限深さの量子回路は、立方格子模型の基底状態を、粗い格子上での独立したハミルトニアンのテンソル積に非エンタングル化できるか？
• RQ3 得られるハミルトニアン $H_A$ と $H_B$ は、縮重度のスケーリングの観点から、物理的に相異なる物質の相であると見なせるか？
• RQ4 粗い格子上の系におけるエンタングルメントエントロピーはどのようにスケーリングするか？これは、その背後にある量子相構造に何を示唆するか？
• RQ5 エンタングルメント・レノルミング・グループ（ERG）フローにおける分岐構造の役割は何か？また、MERAフレームワークにおけるエントロピーのスケーリングにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 有限深さの量子回路 $U$ は、$H_A(a)$ の基底状態を、$H_A(2a)$ と $H_B(2a)$ の基底状態のテンソル積に加え、自明な積状態に写像する。これにより、双方向に分岐するERGフローが実証される。
• 別の有限深さの回路 $V$ は、$H_B(a)$ の基底状態を、2つの $H_B(2a)$ の基底状態のテンソル積に写像する。これは、$H_B$ 相における自己同型的性質を示している。
• $H_A$ と $H_B$ は、系のサイズに応じた縮重度の異なるスケーリングにより、相異なる量子相を表していることが確認されている。
• 粗い格子上の状態のエンタングルメントエントロピーは、分岐係数 $b$ に応じて $O(L^{D-1})$、$O(L^{D-1} an heta)$、または $O(L^{ ext{log}_2(b/2^{D-1})})$ にスケーリングする。ここで $D=3$ は3次元系を表す。
• エントロピーのスケーリング解析により、分岐MERA構造が、分岐数 $b_n$ がエンタングルメント構造の有効次元を決定する臨界的挙動を示すことが確認された。
• 非エンタングルユニタリは、立方格子模型の基底状態の正確なテンソルネットワーク表現を提供し、長さスケールにわたる階層的かつ自己同型的なエンタングルメントパターンを明らかにした。