[論文レビュー] Bifurcation into spectral gaps for a noncompact semilinear Schrödinger equation with nonconvex potential

Christophe Troestler|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトな非線形シュレーディンガー方程式において、非凸ポテンシャルを有する非コンパクトな非線形シュレーディンガー方程式の各スペクトルギャップの上端から、非自明な解が分岐することを確立する。変分法とスペクトル分解を用いて、解がスペクトルギャップの上端 λ = b から連続的に出現することを証明し、非線形性の局所的成長指数 β に応じたエネルギーおよびノルムにおける明確な収束速度を示す。

ABSTRACT

This paper shows that the nonlinear periodic eigenvalue problem $${cases} -Δu + V(x) u - f(x,u) = λu, u \in H^1(\IR^N), {cases}$$ has a nontrivial branch of solutions emanating from the upper bound of every spectral gap of $-Δ+ V$. No convexity condition is assumed. The following result of independent interest is also proven: the direct sum $Y \oplus Z$ in $H^1(\IR^N)$ associated to a decomposition of the spectrum of $-Δ+V$ remains "topologically direct" in the $L^p$'s (in the sense that the projections from $Y+Z$ onto $Y$ and $Z$ are $L^p$-continuous).

研究の動機と目的

• 非コンパクトな半線形シュレーディンガー方程式の各スペクトルギャップの上端から非自明な解分岐が存在することを確立すること。
• 従来の関連する分岐結果で必要とされていたポテンシャルエネルギー関数 F(x,u) の凸性仮定を除去すること。
• λ がスペクトルギャップ境界 b に近づく際の解の漸近的挙動を分析し、エネルギーおよび H¹ ノルムにおける収束速度を定量すること。
• H¹(ℝᴺ) の正および負のスペクトル部分空間へのスペクトル分解が、Lᵖ 空間において位相的に安定していることを保証すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 𝒟λ(u) = ½∫|∇u|² + (V−λ)u² − ∫F(x,u) dx を H¹(ℝᴺ) 上で臨界点問題として定式化する。
• リンク幾何を用いた変分法を適用し、(f1)–(f6) の仮定（特に超二次的・臨界的成長および局所的ピンチング条件 (f6)）に依存する。
• スペクトル理論を用いて、H¹(ℝᴺ) を、エネルギーの二次部分がそれぞれ負定値および正定値となる閉部分空間 Y と Z に分解する。
• H¹(ℝᴺ) におけるスペクトル射影が、p ∈ [2, 2*] に対して Lᵖ(ℝᴺ) に連続に拡張されることを証明し、分解の位相的安定性を保証する。
• 局所的成長が min{|u|ᵝ, |u|ᵅ} に一致する C¹ の偶関数 H(u) を用いて、凸下界を構成する。
• ピンチング条件 (f6) の指数 β を用いて、λ ↘ b のときの解のエネルギーおよび H¹ ノルムの鋭い漸近的推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな半線形シュレーディンガー方程式において、非凸非線形性を有する場合、スペクトルギャップの上端から非自明な解分岐が生じ得るか？
• RQ2 ポテンシャル F(x,u) が非凸であっても、スペクトルギャップ境界での分岐が可能か？
• RQ3 分岐パラメータ λ がスペクトルギャップ上端 b に近づく際、解のエネルギーおよびノルムの正確な収束速度は何か？
• RQ4 H¹(ℝᴺ) の正および負のスペクトル部分空間へのスペクトル分解が、p ∈ [2, 2*] の Lᵖ 空間において位相的に保存されるか？
• RQ5 非凸汎関数 min{|u|ᵝ, |u|ᵅ} に対して、局所的および大域的漸近的挙動を保つ凸下界を構成可能か？

主な発見

• 0 を含む各スペクトルギャップ (a,b) に対して、λ = b から非自明な解分岐が存在し、エネルギーは ℰλ(uλ) = O((b−λ)^{β/(β−2)−N/2}) → 0 (λ → b) を満たす。
• β < 2 + 4/N ならば、解の H¹ ノルムは ‖uλ‖ = O((b−λ)^{1/(β−2)−N/4}) → 0 (λ → b) を満たし、β < 2 + 4/N は最適な条件である。
• H¹(ℝᴺ) の負および正のスペクトル部分空間への分解 Y ⊕ Z は、すべての p ∈ [2, 2*] に対して Lᵖ(ℝᴺ) において位相的に直接的である。
• Y および Z への射影は Lᵖ で連続であり、これは変分的アプローチにとって不可欠であり、演算子 D の Lᵖ 連続性に依存する。
• C¹ の凸関数 H(u) が存在し、H(u) ≤ min{|u|ᵝ, |u|ᵅ}、H(u) ∼ |u|ᵝ (u → 0)、H(u) ∼ |u|ᵅ (|u| → ∞) を満たし、任意の t ≥ 0 に対して H(tu) ∈ [min{tᵅ,tᵝ}, max{tᵅ,tᵝ}] H(u) が成り立つ。
• F が非凸であっても、局所的ピンチング条件 (f6) が満たされていれば、本結果は成り立つ。この条件により、零点近傍での十分な成長が保証され、分岐が可能になる。