[論文レビュー] Bifurcation of Fredholm Maps I; The Index Bundle and Bifurcation

Jacobo Pejsachowicz|arXiv (Cornell University)|May 7, 2010

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、インデックス bundle と一般化された J-ホモオモルフィズムを用いて、非線形フレドホルム写像のパrametrized族に対して位相的分岐指数 β(f) を導入し、孤立した特異点を仮定しないでグローバルな分岐検出を可能にする。主な貢献は、アティヤ＝シンガー族インデックス定理のフェドソフによる精錬を用いて得られるコhomologicalな公式であり、線形化の主記号から分岐指数を計算可能にする。これにより、リャプノフ＝シュルトの方法では到達できない多パrameter非線形楕円型境界値問題における分岐の新規基準が得られる。

ABSTRACT

We associate to a parametrized family $f$ of nonlinear Fredholm maps possessing a trivial branch of zeroes an {\it index of bifurcation} $β(f)$ which provides an algebraic measure for the number of bifurcation points from the trivial branch. The index $β(f)$ is derived from the index bundle of the linearization of the family along the trivial branch by means of the generalized $J$-homomorphism. Using the Agranovich reduction and a cohomological form of the Atiyah-Singer family index theorem, due to Fedosov, we compute the bifurcation index of a multiparameter family of nonlinear elliptic boundary value problems from the principal symbol of the linearization along the trivial branch. In this way we obtain criteria for bifurcation of solutions of nonlinear elliptic equations which cannot be achieved using the classical Lyapunov-Schmidt method.

研究の動機と目的

• 孤立した特異点を仮定しないで、非線形フレドホルム写像の族における分岐点を検出するグローバルな位相的不変量を構築すること。
• フレドホルム作用素のホモトピー不変量を活用することで、古典的なリャプノフ＝シュルト還元を超えた分岐理論を拡張すること。
• 線形化の主記号を用いて、多パrameter非線形楕円型境界値問題の族における分岐を計算可能な基準として確立すること。
• インデックス bundle とコhomologicalインデックス定理を通じて、楕円型位相と分岐理論を橋渡しすること。
• 古典的手法が失敗する非線形偏微分方程式における分岐点を検出する、非局所的な新規手法を提供すること。

提案手法

• 分岐指数 β(f) は、線形化族のインデックス bundle が一般化された J-ホモオモルフィズムを経由して写像される像として定義される。
• インデックス bundle は、解の自明な分岐に沿った線形化族から構成される。
• J-ホモオモルフィズムは K-理論的類を安定ホモトピー群へ写像し、インデックス bundle から位相的不変量を抽出可能にする。
• アティヤ＝シンガー族インデックス定理のフェドソフによるコhomological形式が、インデックス bundle のチャーン類を主記号の言語で表現するために適用される。
• 分岐指数 β(f) は、球面バンドル上で記号の微分形式を統合することにより計算され、次の式を用いる：$\operatorname{ch}(\mathrm{Ind\,}S) = -\sum_{j=n}^{\infty} \frac{(j-1)!}{(2\pi i)^j (2j-1)!} \oint_{S^{2n-1}} \mathrm{tr}(\sigma^{-1}d\sigma)^{2j-1}$。
• 非線形楕円型 BVP はアグラノビッチ還元により、インデックス理論的解析に適した形に還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立した特異点を仮定しないで、非線形フレドホルム写像の族における分岐点をグローバルな位相的不変量が検出可能か？
• RQ2 線形化作用素族のインデックス bundle は、計算可能な分岐指数を定義するためにどのように利用可能か？
• RQ3 一般化された J-ホモオモルフィズムは、パrameter空間の K-理論から分岐検出へどのように接続するか？
• RQ4 非線形楕円型 BVP の主記号は、分岐解の存在をどの程度まで決定できるか？
• RQ5 アティヤ＝シンガー定理のフェドソフによる精錬から得られるコhomologicalインデックス公式は、リャプノフ＝シュルトの方法を超える新たな分岐基準を導出可能か？

主な発見

• 分岐指数 β(f) は、族 f のホモトピーに関してwell-definedかつ不変であり、分岐点に対する頑健な代数的測度を提供する。
• 線形化族のインデックス bundle はパrameter空間のグローバルな位相的情報を符号化しており、特異点が孤立していない場合でも分岐を検出可能である。
• 分岐指数 β(f) はフェドソフの公式により計算され、インデックス bundle のチャーン類が主記号の微分形式で表現される。
• 本手法は、特異点が非孤立なためにリャプノフ＝シュルト法が失敗する多パrameter非線形楕円型 BVP の族においても、分岐を正しく検出する。
• アグラノビッチ還元により、非線形問題が局所的にインデックス理論的解析に適した形に還元可能であり、グローバルな手法の有効性が裏付けられる。
• 本稿では、分岐指数 β(f) が非ゼロであれば、自明な分岐に沿って少なくとも1つの分岐点が存在することを証明しており、分岐の十分条件を確立している。