[論文レビュー] Bifurcation of soliton families from linear modes in non-PT-symmetric complex potentials

Sean Nixon, Jianke Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$ g(x) $ が実数である形の非PT対称な複素ポテンシャル $ V(x) = g^2(x) + ig'(x) $ において、連続的なソリトン族が線形モードから分岐することを解析的に示している。著者らは、定常ソリトン方程式における保存量を同定することで、複素振幅方程式を実数の2階微分方程式に簡略化し、PT対称性がなくても、伝搬定数 $ \mu $ の連続的範囲にわたり摂動的構成が可能となる。

ABSTRACT

Continuous families of solitons in generalized nonlinear Schödinger equations with non-PT-symmetric complex potentials are studied analytically. Under a weak assumption, it is shown that stationary equations for solitons admit a constant of motion if and only if the complex potential is of a special form $g^2(x)+ig'(x)$, where $g(x)$ is an arbitrary real function. Using this constant of motion, the second-order complex soliton equation is reduced to a new second-order real equation for the amplitude of the soliton. From this real soliton equation, a novel perturbation technique is employed to show that continuous families of solitons always bifurcate out from linear discrete modes in these non-PT-symmetric complex potentials. All analytical results are corroborated by numerical examples.

研究の動機と目的

• 非PT対称な複素ポテンシャルにおいて連続的なソリトン族が存在する条件を特定すること。これは、一般にこのような系は孤立したソリトンしか支持しないと予想されているためである。
• 定常ソリトン方程式において保存量を有する特殊な複素ポテンシャルの形を同定すること。
• これらの特殊な非PT対称ポテンシャルにおいて、線形モードから分岐するソリトン族を構成する摂動的手法を開発すること。
• 立方非線形性を超えて、より広い非線形性のクラスへと解析を拡張し、ソリトン族の存在が異なる非線形項に対しても安定であることを示すこと。

提案手法

• ポテンシャルなしの状態からの連続的変形という弱い仮定の下で、定常複素ソリトン方程式における保存量を同定する。
• このような保存量を有する唯一の複素ポテンシャルは、$ V(x) = g^2(x) + ig'(x) $（$ g(x) $ は実数）の形であることを証明する。
• 保存量を用いて、2階の複素ソリトン方程式をソリトンの振幅の2乗に関する新しい2階の実数方程式に還元する。
• 実数の振幅方程式に、独自の摂動技法を適用し、線形固有モードから分岐する連続的なソリトン族を構成する。
• 立方非線形性および飽和非線形性を含む数値例を通じて、解析的結果を検証する。
• 保存量の存在とソリトン族の存在が、広いクラスの非線形性の具体的な形に依存しないことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような非PT対称な複素ポテンシャルが連続的なソリトン族の存在を許容するか？
• RQ2 非PT対称系において、線形モードから分岐するソリトン族を解析的に説明・計算するにはどうすればよいか？
• RQ3 立方非線形性を超えた非線形性に対しても、ソリトン族は維持されるか？
• RQ4 ソリトン方程式における保存量の存在は、$ g^2(x) + ig'(x) $ の形のポテンシャルに特異的か？

主な発見

• 定常ソリトン方程式において保存量を有する唯一の非PT対称な複素ポテンシャルは、$ V(x) = g^2(x) + ig'(x) $（$ g(x) $ は実数）の形である。
• このようなポテンシャルに対しては、PT対称性がなくても、常に離散的線形モードから連続的なソリトン族が分岐する。
• 線形化された実数振幅方程式における核構造の相違により、ソリトン族を構成するための摂動法は、標準的手法とは根本的に異なる。
• 数値例により、飽和非線形性を含む広い非線形性のクラスにおいても、ソリトン族の分岐が安定に維持されることを確認した。
• $ \mu_0 \approx 0.3708 $ の線形モードから分岐するソリトンのパワー曲線は連続的に変化しており、連続的族の存在を裏付けている。
• 本結果は、特定の非PT対称な散逸系が保存則に類似した性質（例：連続的なソリトン族）を示す可能性を示唆している。これは保存量の存在に起因する。