[論文レビュー] Bifurcation results for semilinear elliptic problems in R^N

Marino Badiale, Alessio Pomponio|ArXiv.org|Nov 21, 2002

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形還元法を用いて、$\mathbb{R}^N$ 上の非線形楕円型方程式の解の分岐を、$-\Delta$ の本質的スペクトルの底から確立する。解の族が $H^1(\mathbb{R}^N)$ や $L^\infty(\mathbb{R}^N)$ の原点から分岐することを示し、非線形性の指数 $p$ と次元 $N$ に応じて、解の具体的な挙動を特定する。解の曲線は、ゼロから分岐する、無限大から分岐する、あるいは両者から離れて有界なまま保たれる場合がある。

ABSTRACT

In this paper we obtain, for a semilinear elliptic problem in R^N, families of solutions bifurcating from the bottom of the spectrum of $-Δ$. The problem is variational in nature and we apply a nonlinear reduction method which allows us to search for solutions as critical points of suitable functionals defined on finite-dimensional manifolds.

研究の動機と目的

• 非線形楕円型方程式 $\mathbb{R}^N$ 上で、$H^1(\mathbb{R}^N)$ および $L^\infty(\mathbb{R}^N)$ の原点から解の族が分岐することを確立すること。
• $\lambda \to 0^-$ のときの解の漸近的挙動を、解がゼロから分岐する、無限大から分岐する、あるいは両者から離れて有界なまま保たれる場合に分けて分析すること。
• 特に [2] の定理 3.2 の証明における空白を埋めるべく、連続スペクトルからの分岐に関する先行結果を拡張・是正すること。
• 係数 $a(x)$, $b(x)$ および指数 $p$, $q$ に対して適切な条件を課したとき、解の族がパラメータ-解空間で連続曲線をなすことの証明。
• 無限次元問題を有限次元問題に還元できる厳密な枠組みを提供する非線形還元法を用いて、臨界点解析を可能にする。

提案手法

• 変数変換 $u(x) = \varepsilon^{2/(1-p)} \psi(x/\varepsilon)$, $\lambda = -\varepsilon^2$ を適用し、元の方程式を小パrameter $\varepsilon$ を含む摂動方程式に変換する。
• 非線形還元法を用いて、摂動方程式の解の探索を、有限次元多様体上の汎関数の臨界点の探索に還元する。
• 有限次元パラメータ $\theta$ に依存する還元された汎関数 $f_\varepsilon(\theta)$ を定義し、陰関数定理を用いてその臨界点を分析する。
• 解 $u_\varepsilon = z_{\theta_\varepsilon} + w(\varepsilon, \theta_\varepsilon)$ が存在することを示し、ここで $z_{\theta_\varepsilon}$ は平行移動されたプロファイルで、$w$ は $\varepsilon \to 0$ のとき消える余剰項である。
• $\varepsilon \to 0$ のとき $\theta_\varepsilon \to 0$ であることを証明し、解曲線がプロファイル空間における原点を中心に位置することを示す。
• 逆変換 $\psi_\lambda(x) = \varepsilon^{2/p - 1} u_\varepsilon(\varepsilon x)$ を用いて元の方程式の解を回復し、$\lambda \to 0^-$ のときのノルム挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数 $a(x)$, $b(x)$ および指数 $p$, $q$ に対してどのような条件下で、$\mathbb{R}^N$ 上の非線形楕円型方程式が $H^1(\mathbb{R}^N)$ の原点から解の族が分岐するか。
• RQ2 $\lambda \to 0^-$ のときの解ノルム $||\psi_\lambda||_{H^1}$ の漸近的挙動は、$p$ の値と次元 $N$ にどのように依存するか。
• RQ3 解の族が $(\lambda, \psi_\lambda)$-空間で連続曲線をなすことは示せるか。その条件は $p$, $N$ および係数にどのように依存するか。
• RQ4 臨界指数 $p = 1 + 4/N$ は、解がゼロから分岐するか無限大から分岐するかを決定づける役割を果たすか。
• RQ5 $a(x)$ についての仮定—$a - A \in L^1(\mathbb{R}^N)$ または $a - A \sim L/|x|^\gamma$ ($|x| \to \infty$) —が分岐構造に与える影響は何か。

主な発見

• 仮定 $\mathbf{(a_1)}$, $\mathbf{(a_2)}$, $\mathbf{(b_1)}$, $\mathbf{(b_2)}$ を満たすとき、方程式は $L^\infty(\mathbb{R}^N)$ の原点から解の族が分岐する。さらに $p < 1 + 4/N$ ならば、$H^1(\mathbb{R}^N)$ に対しても同様に成り立つ。
• $\mathbf{(a_3)}$, $\mathbf{(b_1)}$, $\mathbf{(b_3)}$ が成り立つとき、同様に $L^\infty(\mathbb{R}^N)$ の原点から解の族が分岐し、$p < 1 + 4/N$ ならば $H^1(\mathbb{R}^N)$ に対しても成り立つ。
• $N=1,2,3$ および $p \geq 3$ の場合、$\lambda \in (\lambda_0, 0)$（$\lambda_0 < 0$）の範囲で、解の連続曲線 $\lambda \mapsto \psi_\lambda$ が存在する。
• $N=1$, $2 \leq p < 5$ の場合、$\lambda \to 0^-$ のとき $||\psi_\lambda||_{H^1} \to 0$ となり、原点からの分岐を示す。
• $N=1$, $p=5$ または $N=2$, $p=3$ の場合、$||\psi_\lambda||_{H^1} \to c \neq 0$ となり、解がゼロおよび無限大から離れて有界に保たれることを示す。
• $N=1$, $p>5$ または $N=2$, $p>3$ または $N=3$, $3 \leq p < 5$ の場合、$||\psi_\lambda||_{H^1} \to \infty$ となり、無限大からの分岐を示す。