[論文レビュー] Bifurcation values and monodromy of mixed polynomials

Ying Chen, Mihai Tibăr|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、混合多項式における無限遠でのρ正則性を導入することで、複素多項式分岐理論の実数版を確立し、分岐集合が有界であることを証明するとともに、ニュートン非退化な面を用いた推定を行う。主な結果は、無限遠におけるニュートン境界が固定された、ニュートン強く非退化な混合多項式の族に対して、モノドロミー安定性定理を確立することであり、特になめらかでない、非連結なパラメータ空間であるにもかかわらず、複素解析的結果を実数設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

We study the bifurcation values of real polynomial maps $f: \bR^{2n} o \bR^2$ which reflect the lack of asymptotic regularity at infinity. We formulate real counterparts of some structure results which have been previously proved in case of complex polynomials by Kushnirenko, N\'emethi and Zaharia and other authors, emphasizing the typical real phenomena that occur.

研究の動機と目的

• 複素多項式分岐理論を、無限遠での漸近的正則性が保証されない実混合多項式へと拡張すること。
• 無限遠におけるρ正則性を用いて、f: R^{2n} → R^2 である実多項式写像 f に対する分岐locus B(f) を特徴付けること。
• ニュートン非退化性およびニュートン単体の「悪くない面」を用いて、分岐集合 S(f) の有効な推定を行うこと。
• 無限遠におけるニュートン境界が固定された混合多項式の族に対して、モノドロミーが無限遠で安定することを証明すること。ただし、実設定におけるニュートン強く非退化な条件が非稠密かつ非連結であるという点を考慮に入れる。

提案手法

• ミルナーの局所的条件の実数版として、無限遠におけるρ正則性を導入し、ミルナー集合 M(f) および漸近的悪い値の集合 S(f) を定義する。
• 半代数的Sard型定理を用いて、ニュートン非退化な混合多項式に対して、S(f) ⊂ f(Sing f) ∪ {0} ∪ ∪_{Δ∈B} f_Δ(Sing f_Δ ∩ C*^n) を示す。
• 曲線選択補題および面解析を用いて、ニュートン強く非退化な条件下で f(Sing f) および S(f) の有界性を証明する。
• 臨界値集合および悪い値集合の有界性を用いて、大きな球面へのファイバーの横断性を示し、グローバルなファイブレーションを無限遠で構成する。
• Ehresmannのファイブレーション定理を適用し、無限遠におけるニュートン境界が固定された1パrameter族の混合多項式に対して、モノドロミーファイブレーションの同倫型を示す。
• ニュートン境界が一定である連続な混合多項式族を構成し、モノドロミーファイブレーションが族全体で同倫的であることを示すことにより、モノドロミー安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限遠における漸近的正則性が失敗する場合、実混合多項式 f: R^{2n} → R^2 の分岐locus B(f) はどのように推定できるか？
• RQ2 ニュートン非退化性および悪くない面が、実混合設定における漸近的悪い値の集合 S(f) の特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 非稠密かつ非連結なニュートン強く非退化な条件を考慮に入れても、実混合多項式設定において無限遠におけるモノドロミーを定義し、安定化することは可能か？
• RQ4 無限遠におけるニュートン境界が固定された混合多項式の連続変形において、無限遠におけるモノドロミーはどのように振る舞うか？
• RQ5 ホロモーラィックな場合に起こらない、実混合設定特有の現象は何か。例えば、非退化な面が分岐locusに寄与する現象は？

主な発見

• 分岐集合 B(f) は S(f) ∪ f(Sing f) に含まれる。ここで S(f) は漸近的悪い値の半代数的集合であり、ニュートン強く非退化な条件下で有界である。
• ニュートン非退化な混合多項式に対しては、S(f) ⊂ {0} ∪ ∪_{Δ∈B} f_Δ(Sing f_Δ ∩ C*^n) が成り立ち、分岐locusの有効な推定が得られる。
• ニュートン強く非退化な混合多項式に対して、無限遠におけるモノドロミーは存在し、かつ適切に定義される。f の像は R^2 のある円盤の補集合を含む。
• 無限遠におけるニュートン境界が固定された混合多項式の連続変形において、モノドロミーは安定する。ファイブレーションの同倫型を用いてこれを示す。
• 同じ無限遠におけるニュートン境界を持ち、かつ無限遠で正則（または反正則）な制限を持つ2つのニュートン強く非退化な混合多項式のモノドロミーは、同倫的である。
• 新たな現象が観察された：ある面がニュートン境界において非退化であっても、分岐locusに寄与することがある。これはホロモーラィックな設定では起こり得ない。