[論文レビュー] Bifurcations and strange attractors

L. P. Shilnikov|ArXiv.org|Apr 28, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、カオス的力学系における奇妙な吸引子を、3つのタイプに分類する—双曲的、擬双曲的、準吸引子—特にカオス的ダイナミクスを引き起こす分岐に注目する。同定された結果として、3次元系におけるホモクリニック接触と構造的不安定性は、可算無限個の周期軌道を有する複雑な吸引子を生じさせ、ニューホールス領域では完全な理論的解析が不可能であることを示している。

ABSTRACT

We review the theory of strange attractors and their bifurcations. All known strange attractors may be subdivided into the following three groups: hyperbolic, pseudo-hyperbolic ones and quasi-attractors. For the first ones the description of bifurcations that lead to the appearance of Smale-Williams solenoids and Anosov-type attractors is given. The definition and the description of the attractors of the second class are introduced in the general case. It is pointed out that the main feature of the attractors of this class is that they contain no stable orbits. An etanol example of such pseudo-hyperbolic attractors is the Lorenz one. We give the conditions of their existence. In addition we present a new type of the spiral attractor that requires countably many topological invariants for the complete description of its structure. The common property of quasi-attractors and pseudo-hyperbolic ones is that both admit homoclinic tangencies of the trajectories. The difference between them is due to quasi-attractors may also contain a countable subset of stable periodic orbits. The quasi-attractors are the most frequently observed limit sets in the problems of nonlinear dynamics. However, one has to be aware that the complete qualitative analysis of dynamical models with homoclinic tangencies cannot be accomplished.

研究の動機と目的

• 非線形力学系における奇妙な吸引子を、その位相的性質および安定性特性に基づき分類・特徴付けること。
• ホモクリニック接触と構造的不安定性が、複雑なカオス的ダイナミクスを生成する役割を調査すること。
• 特に安定周期軌道の有無に着目して、擬双曲的吸引子と準吸引子の違いを明確にすること。
• ポisson安定軌道（ダイナミカル・カオスの鍵となるもの）が微小摂動のもとでも存続する条件を確立すること。
• ホモクリニック接触を有する系では、構造的不安定性の密度が極めて高く、完全な分岐解析が根本的になされ得ないことを示すこと。

提案手法

• 符号的力学と位相的同型を用いて、特にスメール＝ウィリアムズのソレノイドとアノソフ型吸引子を含む双曲的集合内の軌道を記述する。
• 構造的安定性理論と横断的理論を応用し、3次元流れおよび2次元微分同相写像におけるホモクリニック軌道を伴う分岐を分析する。
• 安定多様体と不安定多様体が非横断的に接触する「ワイルドな双曲的集合」の概念を用い、非自明なダイナミクスを導く。
• ニューホールス領域の結果を活用し、可算無限個の周期軌道を有する構造的不安定系の稠密集合の存在を示す。
• 吸引領域における無限大の退化性を記述するための位相的不変量（モジュラス）の概念を導入する。
• ベクトル場の発散性の性質を分析し、鞍点の値と安定領域が出現する条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カオス的挙動を示す力学系において、ポisson安定軌道が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ2 ホモクリニック接触は、3次元系における奇妙な吸引子の構造と安定性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 安定周期軌道の有無に着目した場合、擬双曲的吸引子と準吸引子の主な相違点は何か？
• RQ4 なぜホモクリニック接触を有する系の完全な理論的解析は根本的になされ得ないのか？
• RQ5 ニューホールス領域は、構造的不安定系の分布および周期軌道の共存に果たす役割は何か？

主な発見

• 既知のすべての奇妙な吸引子は、3つのクラスに分類される：双曲的、擬双曲的、準吸引子で、後者は非線形力学系において最も一般的に観察される。
• 擬双曲的吸引子（例：ローレンツ吸引子）には安定周期軌道が存在せず、鞍点サイクルへの横断的ホモクリニック軌道によって特徴づけられる。
• 準吸引子には、しばしば狭い吸引域を有する可算無限個の安定周期軌道が含まれるが、大規模な安定領域が存在しない限り、数値シミュレーションではしばしば見逃される。
• ホモクリニック接触を有する系は、構造的不安定性が稠密に存在し、可算無限個の周期軌道と双曲的集合が共存するニューホールス領域を形成する。
• 吸引領域で符号が交互に変化する発散性を有する系では、ダイナミクスを記述するために無限大の位相的不変量（モジュラス）が必要となる。
• ホモクリニック接触を許容する系の完全な分岐ダイアグラムおよび理論的解析は、退化性の複雑さと稠密性のため、根本的になされ得ない。