[論文レビュー] Bifurcations in Delayed Lotka-Volterra Intraguild Predation Model

Juancho A. Collera|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2015

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、基礎的資源がハッチンソンの遅延リッジスティック方程式に従う遅延付きロトカ・ヴォルテラ型内集団捕食モデルを分析している。遅延時間τを分岐パラメータとして用い、正の平衡解における安定性およびホップ分岐の条件を確立し、遅延の増加が安定な周期的振動を引き起こすことを示している。これにより、平衡解が不安定であっても、3種すべての共存が保証される。

ABSTRACT

Omnivory is defined as feeding on more than one trophic level. An example of this is the so-called intraguild predation (IG) which includes a predator and its prey that share a common resource. IG predation models are known to exhibit interesting dynamics including chaos. This work considers a three-species food web model with omnivory, where the interactions between the basal resource, the IG prey, and the IG predator are of Lotka-Volterra type. In the absence of predation, the basal resource follows a delayed logistic equation or popularly known as Hutchinson's equation. Conditions for the existence, stability, and bifurcations of all non-negative equilibrium solutions are given using the delay time as parameter. Results are illustrated using numerical bifurcation analysis.

研究の動機と目的

• 時間遅れがロトカ・ヴォルテラ相互作用を示す3種の内集団捕食モデルの安定性およびダイナミクスに与える影響を調査すること。
• 遅延パラメータが変化する際に非負の平衡解が存在し、安定を保つ条件を特定すること。
• ホップ分岐を介して周期的挙動の発生を同定し、出現する周期的解の安定性を分析すること。
• 数値連続法により、正の平衡解が遅延の増加に伴い不安定化した後に安定な極小循環が出現することを示すこと。

提案手法

• 基礎的資源に遅延付きリッジスティック成長項を含む遅延微分方程式（DDE）系を定式化し、内集団捕食をモデル化する。
• τ = 0における局所的安定性を評価するため、ルーヴェ・ハルウィッツの基準を適用し、基本的な安定性条件を確立する。
• 各平衡解まわりの線形化系の特性方程式を導出し、純虚数解の存在を分析することでホップ分岐点を特定する。
• 陰関数定理および横断性条件を用いて、ホップ分岐点における安定性スイッチの方向を特定する。
• DDE-Biftoolを用いた数値連続法により、平衡解の分岐を追跡し、ホップ分岐点から安定な周期的解の分岐を継続的に追跡する。
• 数値分岐解析により、遅延τの増加に伴い安定平衡から安定な振動に移行する過程を可視化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたパrameterセットのもとで、遅延値が小さい場合に正の平衡解E₄がτ ∈ (0, τ₀)で安定する条件は何か？
• RQ2 正の平衡解が不安定化し、ホップ分岐を経る臨界遅延値τ₀は何か？
• RQ3 ホップ分岐点における安定性スイッチの方向は何か？また、系は安定な周期的振動に移行するか？
• RQ4 遅延時間の増加が、3種の長期的共存および個体群ダイナミクスに与える影響は何か？
• RQ5 数値連続法により、ホップ分岐に続く安定な周期的解の分岐が確認できるか？

主な発見

• S > 0かつb < 0の下で、正の平衡解E₄はτ ∈ (0, τ₀)で存在し、局所的漸近的安定である。パラメータセットのもとでτ₀ ≈ 1.7438である。
• τ = τ₀ ≈ 1.7438で、系はホップ分岐を経て正の平衡解が不安定化し、周期的解が生じる。
• DDE-Biftoolを用いた数値連続法により、ホップ点から安定な周期的解の分岐が確認され、持続的な周期的共存が示唆される。
• 安定性スイッチは、固有値の実部が虚軸を crosses するに伴い符号が変化することに起因し、横断性解析により確認された。
• τ > τ₀で平衡解が不安定化しても、系は安定な極小循環に収束し、3種すべての長期的共存が保証される。
• 結果は、時間遅れが、平衡解が不安定化しても種の絶滅を引き起こさない一方で、複雑なダイナミクス、特に安定な振動を誘発できることを示している。