[論文レビュー] Bifurcations of a Leslie Gower predator prey model with Holling type III functional response and Michaelis-Menten prey harvesting

Eric Ávila-Vales, Ángel Estrella-González+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ホーリング型III機能反応とマイケリス・メンテン型被捕獲を備えた変更されたLeslie-Gower捕食者-被捕食者モデルを分析する。力学系理論を用いて、ホップ分岐およびサドルノード分岐の存在を厳密に証明し、複雑なダイナミクスを示すコディメンション2のボガドノフ＝タケンス分岐を示している。これにより、極限円周およびホモクリニックループを含むダイナミクスが明らかになった。研究結果は、生態系における持続可能な捕獲のための数学的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We discuss the stability and bifurcation analysis for a predator-prey system with non-linear Michaelis-Menten prey harvesting. The existence and stability of possible equilibria are investigated. We provide rigorous mathematical proofs for the existence of Hopf and saddle node bifurcations. We prove that the system exhibits Bogdanov-Takens bifurcation of codimension two, calculating the normal form. We provide several numerical simulations to illustrate our theoretical findings.

研究の動機と目的

• ホーリング型III機能反応および非線形マイケリス・メンテン型被捕獲を有する捕食者-被捕食者系の安定性および分岐構造を調査すること。
• 系がホップ分岐およびサドルノード分岐を示す条件を特定し、これにより周期的共存または個体数崩壊が生じることを明らかにすること。
• コディメンション2のボガドノフ＝タケンス分岐の存在を証明し、そのグローバルダイナミクスへの影響を分析すること。
• 捕食者と被捕食者が共存するパラメータ領域を特定することで、持続可能な捕獲政策のための数学的基盤を提供すること。
• 臨界分岐点近傍における数値シミュレーションおよびパラメータ空間解析を通じて、モデルの生物学的妥当性を検証すること。

提案手法

• 変数と時間のスケーリングにより、元のモデルを次元なし系(3)に変換し、ダイナミクスを保持したまま解析を簡略化した。
• 微分不等式に関する補題1を適用して、第一象限における解の正値性および有界性を確立した。
• 系の均衡点方程式の代数的解析を通じて、自明な均衡点および内部均衡点を特定・分類した。
• ヤコビ行列と均衡点における固有値評価を用いて、局所的安定性解析を実施した。
• ホップ分岐から生じる極限円周の安定性を決定するため、最初のリャプノフ係数を計算した。
• 正準形解析を実施し、臨界パラメータ点におけるコディメンション2のボガドノフ＝タケンス分岐の存在を厳密に証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系がホップ分岐を経る条件は何か？ また、これに伴って生じる極限円周の安定性を決定するのは何であるか？
• RQ2 どのようなパラメータ設定がサドルノード分岐を引き起こし、均衡点の生成または消滅をもたらすか？
• RQ3 系がコディメンション2のボガドノフ＝タケンス分岐をどのように示し、この点近傍でどのような複雑なダイナミカルな挙動が出現するか？
• RQ4 マイケリス・メンテン型捕獲は、捕食者-被捕食者の共存の安定性および持続可能性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 数値シミュレーションは、極限円周およびホモクリニックループに関する理論的予測をどのように確認するか？

主な発見

• パラメータδの臨界値において、系はホップ分岐を示し、内部均衡点の周囲に安定または不安定な極限円周が出現する。
• 2つの均衡点が衝突して消滅する際にサドルノード分岐が発生し、これは個体数の持続または絶滅の閾値を示している。
• 特定のパラメータ値（δ = δ^BT, h = h^BT）において、系はコディメンション2のボガドノフ＝タケンス分岐を経る。この点では均衡点が二重零固有値を持つ。
• ボガドノフ＝タケンス点近傍では、ホモクリニックループや複数の極限円周が出現するなど、豊かなダイナミクスが観察される。
• Mapleを用いた数値シミュレーションにより、理論的予測が確認され、極限円周およびホモクリニックループの分岐曲線（T, H, P）が正確に近似されている。
• 解析により、捕獲パラメータhおよびcが系の安定性に顕著な影響を与えることが明らかになった。これらのパラメータの適切な制御により、被捕食者の絶滅を防ぎ、共存を促進できる。