[論文レビュー] Bifurcations of multi-vortex configurations in rotating Bose--Einstein condensates

Carlos García-Azpeitia, Dmitry E. Pelinovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、調和ポテンシャルを伴うGross-Pitaevskii方程式に従う回転するボーズ・アインシュタイン凝縮体における多渦配置のグローバルな分岐を研究する。Lyapunov-Schmidtの還元と対称性解析を用いて、回転周波数 Ω が増加するにつれ、電荷 $ m_0 $ の径対称的渦が $ 1 + m_0(m_0 - 1)/2 $ 回の分岐を経て、非対称的渦、渦対、渦多角形が生じることを示し、明示的な渦の配置はヘルミート・ガウス固有関数とその零点集合によって特定される。

ABSTRACT

We analyze global bifurcations along the family of radially symmetric vortices in the Gross--Pitaevskii equation with a symmetric harmonic potential and a chemical potential $μ$ under the steady rotation with frequency $Ω$. The families are constructed in the small-amplitude limit when the chemical potential $μ$ is close to an eigenvalue of the Schrödinger operator for a quantum harmonic oscillator. We show that for $Ω$ near $0$, the Hessian operator at the radially symmetric vortex of charge $m_{0}\in\mathbb{N}$ has $m_{0}(m_{0}+1)/2$ pairs of negative eigenvalues. When the parameter $Ω$ is increased, $1+m_{0}(m_{0}-1)/2$ global bifurcations happen. Each bifurcation results in the disappearance of a pair of negative eigenvalues in the Hessian operator at the radially symmetric vortex. The distributions of vortices in the bifurcating families are analyzed by using symmetries of the Gross--Pitaevskii equation and the zeros of Hermite--Gauss eigenfunctions. The vortex configurations that can be found in the bifurcating families are the asymmetric vortex $(m_0 = 1)$, the asymmetric vortex pair $(m_0 = 2)$, and the vortex polygons $(m_0 \geq 2)$.

研究の動機と目的

• 回転するボーズ・アインシュタイン凝縮体における多渦配置の構造的転移を、径対称状態を越えて理解すること。
• 回転周波数 Ω が増加するに従い、特に臨界分岐点付近で渦の数と配置がどのように変化するかを特定すること。
• 対称性と固有関数の零点構造を用いて、非対称的渦、渦対、多角形などの結果的な渦配置を分類すること。
• ヘッセ作用素の負の固有値の個数と、系における分岐の数との間の厳密な関係を確立すること。
• 小振幅分岐理論を用いて、径対称状態から生じる渦解の二次的分岐の体系的分類を提供すること。

提案手法

• 回転系における対称的調和ポテンシャルを伴うGross-Pitaevskii方程式の小振幅解をLyapunov-Schmidt還元により解析する。
• 時間に依存しないGP方程式を、量子調和振動子の固有値付近での化学ポテンシャル μ でパrameter化された定常形に、変数分離を用いて還元する。
• 電荷 $ m_0 $ の径対称的渦におけるヘッセ作用素を解析し、$ heta = 0 $ で $ m_0(m_0 + 1)/2 $ 組の負の固有値を持つことを示す。
• Ω が増加するに従い負の固有値ペアが消失する様子を追跡し、固有値の交差に起因して $ 1 + m_0(m_0 - 1)/2 $ 回の分岐が発生することを示す。
• 対称性還元を適用し、ヘルミート・ガウス固有関数の零点集合を解析して、分岐する分岐枝における渦配置を予測する。
• 小パrameter $ a $ と $ b $ における摂動展開を用い、切り捨てられた解を計算し、径関数の根解析により渦の位置を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転周波数 Ω が増加するに従い、径対称的渦の族において、いくつのグローバル分岐が発生するか？
• RQ2 これらの分岐から生じる渦配置の種類（非対称的渦、渦対、多角形など）は何か？
• RQ3 Gross-Pitaevskii方程式の対称性およびヘルミート・ガウス固有関数の構造が、分岐する分岐枝における渦の空間的配置にどのように寄与するか？
• RQ4 ヘッセ作用素の負の固有値個数が分岐の発生を予測する役割を果たすか？
• RQ5 渦の位置と電荷は、パrameter $ m_0 $、$ heta $、および小振幅展開係数にどのように依存するか？

主な発見

• 電荷 $ m_0 $ の径対称的渦に対して、ヘッセ作用素は $ heta = 0 $ のとき $ m_0(m_0 + 1)/2 $ 組の負の固有値を持つ。これは不安定性を示し、分岐を引き起こす。
• θ が増加するにつれ、$ 1 + m_0(m_0 - 1)/2 $ 回のグローバル分岐が発生し、それぞれが1組の負の固有値ペアの消失に対応する。
• 分岐する解には、$ m_0 = 1 $ の非対称的渦、$ m_0 = 2 $ の非対称的渦対、$ m_0 \neq 1,2 $ の場合の渦多角形が含まれ、電荷1の渦は半径 $ r_0 = \big( \frac{b}{a} C_{m,m_0} (|m - 2m_0| + 1) \big)^{1/(m_0 - |m - 2m_0|)} $ の円周上に配置される。
• $ m = 2m_0 $ の場合、$ m_0 $ 個の渦からなる多角形が形成され、中心に渦がない。例えば $ m_0 = 3 $ では正三角形、$ m_0 = 6 $ では正六角形となる。
• $ m \neq 2m_0 $ の場合、波動関数の中心の零点が電荷 $ d = 2m_0 - m $ の渦に分裂し、$ |d| $ が $ m - m_0 $ で割り切れる場合に限り、$ m - m_0 $ 個の渦に分裂する。
• 非対称的渦（$ m_0 = 1 $）の分岐点は $ \theta_{2,0} = 2 + \theta(1) $ に、渦対（$ m_0 = 2 $）の分岐点は $ \theta_{3,0} = 2 + \theta(1) $ に位置し、一般式 $ \theta_{m_0+1,0} = 2 + \theta(1) $ と整合的である。