[論文レビュー] Big jump principle for heavy-tailed random walks with correlated increments

Marc Höll, Eli Barkai|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2021

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自己相関を持つ重尾分布を示すランダムウォークへ、ビッグジャンプ原理（BJP）を拡張し、和の極端な事象が最大の増分（ビッグジャンプ）に加え、その後に続く相関のある増分にも影響を受けることを示している。著者らは、ビッグジャンプの発生ステップ番号に条件づけたものとそうでないものの2通りのBJPの定式化を導出し、相関が和の分布の裾の挙動を最大増分のものと比較してシフトさせることを示している。このシフトの大きさは、相関の強さとビッグジャンプの発生タイミングの両方に依存する。

ABSTRACT

The big jump principle explains the emergence of extreme events for physical quantities modelled by a sum of independent and identically distributed random variables which are heavy-tailed. Extreme events are large values of the sum and they are solely dominated by the largest summand called the big jump. Recently, the principle was introduced into physical sciences where systems usually exhibit correlations. Here, we study the principle for a random walk with correlated increments. Examples are the autoregressive model of first order and the discretized Ornstein-Uhlenbeck process both with heavy-tailed noise. The correlation leads to the dependence of large values of the sum not only on the big jump but also on the following increments. We describe this behaviour by two big jump principles, namely unconditioned and conditioned on the step number when the big jump occurs. The unconditional big jump principle is described by a correlation dependent shift between the sum and maximum distribution tails. For the conditional big jump principle, the shift depends also on the step number of the big jump.

研究の動機と目的

• 自己相関を持つランダムウォークへのビッグジャンプ原理（BJP）の拡張を目的とする。
• 相関が極端な和の事象における最大増分の優位性に与える影響を調査することを目的とする。
• ビッグジャンプが発生するステップ番号に条件づけたものとそうでないものの2通りのBJPの定式化を導出することを目的とする。
• 記憶核関数および相関構造が和の分布の尾部挙動に与える影響を定量化することを目的とする。
• 自己相関を持つ重尾分布系における極端事象の理解のための正確に解けるモデルを提供することを目的とする。

提案手法

• ランダムウォークを ˜xN = ∑i=1N ˜δi としてモデル化し、増分 ˜δi = ∑j=1i Mi−jδj を用いる。ここで δj はi.i.d.な重尾分布に従う確率変数である。
• 増分の相関を誘導する記憶核関数 Mi−j を用い、一階自己回帰モデルや離散化されたオルンシュタイン＝ウーレンベック過程をモデル化する。
• 和 ˜xN にビッグジャンプ原理を適用し、その尾部分布が ˜δmax = max(˜δ1, ..., ˜δN) の尾部分布と比較されることを検証する。
• 和の分布と最大増分の分布の漸近的尾部挙動を解析することで、無条件なBJPを導出し、相関に依存するシフトが生じることを示す。
• ビッグジャンプが発生するステップ番号 b に条件づけた状況で、条件付きBJPを導出し、b に依存する追加の依存性が明らかになる。
• N=2 の場合の厳密計算と漸近的解析を用いて、尾部のパワーロー法指数とシフトを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 増分の相関が、重尾分布系におけるビッグジャンプ原理の妥当性および形式にどのように影響を与えるか？
• RQ2 ビッグジャンプの後に続く増分が、自己相関を持つ過程における和の極端な値にどの程度寄与するか？
• RQ3 ビッグジャンプが発生するステップ番号 b が、和の分布の尾部挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 自己相関を持つ系において、和の分布と最大増分の分布の尾部の間のシフトの関数的形はどのようなものか？
• RQ5 ビッグジャンプ原理は、相関の強さとビッグジャンプのタイミングの両方を含めるように一般化可能か？

主な発見

• 無条件なビッグジャンプ原理では、和の分布の尾部と最大増分の尾部との間に、相関に依存するシフトが生じており、このシフトは記憶核関数の関数としてスケーリングされる。
• 条件付きビッグジャンプ原理においては、シフトが相関に加え、ビッグジャンプが発生するステップ番号 b にも依存しており、極端事象形成における時間的依存性が示唆される。
• N=2 の場合、最大増分 ˜δmax の尾部は、i.i.d.の場合と同一のパワーロー法 f˜δmax(z) ∼ 2αz−1−α に従うことが確認され、特定の条件下でBJPの整合性が裏付けられる。
• N=2 の一様分布の場合、最大確率密度関数 f˜δmax(z) は記憶パラメータ m に応じて異なる傾きを持つ区分的線形関数となり、相関の明示的依存性が示される。
• 和の分布 fx̃N(z) の尾部指数は、最大増分の分布 f˜δmax(z) と漸近的に一致しており、相関下でもBJPが成立していることが確認されるが、位置がずれている。
• 本研究では、相関が再正規化効果を引き起こすことが示され、和の極端な値がビッグジャンプ自体だけでなく、その後に続く増分の全系列に影響を受けることが明らかになった。