[論文レビュー] Big quantum cohomology of Fano complete intersections

Xiaowen Hu|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、モノドロミー群不変性と WDVV 方程式の対称的還元を用いて、非特異的ファノ完全交差の genus 0 グロモフ＝ウィッテン不変量を計算するための二重根再帰予想を提示する。本稿は、正確に4つの原始的挿入を持つ不変量についてこの予想を証明し、コホロロジー環構造と還元された genus 1 不変量を用いて、立方体超曲面および2次形式の奇数次元完全交差の再構成定理を確立する。

ABSTRACT

For smooth complete intersections in the projective spaces, we use the deformation invariance of Gromov-Witten invariants and results in classical invariant theory to study the symmetric reduction of the WDVV equation by the monodromy groups. We propose a double root recursion conjecture for genus 0 invariants of non-exceptional Fano complete intersections other than the cubic hypersurfaces and the odd dimensional intersection of two quadrics. Based on it we develop an algorithm to compute the genus 0 invariants of any length and with any number of primitive insertions. The effectiveness of our algorithm is the main conjecture of this paper. We prove the conjecture at the first non-trivial order, which amounts to the computation of genus zero Gromov-Witten invariants with exactly 4 primitive insertions. We show a reconstruction theorem for the odd dimensional intersection of two quadrics. There are some 4-point and 8-point genus 0 Gromov-Witten invariants for cubic hypersurfaces that cannot be computed by the monodromy group method. We compute them by studying the cohomology ring structure of the Fano variety of lines and by Zinger's reduced genus 1 Gromov-Witten invariants. Then we get a reconstruction theorem for cubic hypersurfaces. At the end of the paper, we give numerical examples and some conjectural closed formulae.

研究の動機と目的

• 非特異的ファノ完全交差の任意の長さおよび原始的挿入数を持つ genus 0 グロモフ＝ウィッテン不変量を計算するための効果的アルゴリズムを開発すること。
• 最初の非自明な次数で、特に正確に4つの原始的挿入を持つ不変量に対して、提案された二重根再帰予想の有効性を証明すること。
• コホロロジー的および genus 1 不変量技術を用いて、2つの2次形式の奇数次元完全交差および立方体超曲面の再構成定理を確立すること。
• 立方体超曲面の特定の4点および8点不変量をモノドロミー群手法で計算できない理由を解明し、それらを回復するための手法を、直線のファノ多様体と還元された genus 1 不変量を分析することによって克服すること。

提案手法

• グロモフ＝ウィッテン不変量の変形不変性と古典的不変式論を用いて、モノドロミー群作用の下での WDVV 方程式を簡約する。
• ビッグ量子コホロロジー汎関数に対する対称的還元技術を適用し、モノドロミー群作用の下での不変量に焦点を当てる。
• ゼンジャーの還元された genus 1 不変量を用いて、立方体超曲面において従来は到達不可能であった genus 0 不変量を計算する。
• 立方体超曲面の直線のファノ多様体のコホロロジー環構造を分析し、重要な不変量を導出する。
• 非特異的ファノ完全交差の genus 0 不変量に対して、二重根再帰予想を提示する（立方体超曲面および2次形式の奇数次元完全交差を除く）。
• 行列 W と M および関数 A_N に基づく再帰関係を用いて、k ≥ 0 に対して F^(k)(0) を再帰的に計算する計算アルゴリズム（付録 D で詳細に記述）を開発する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非特異的ファノ完全交差の任意の長さおよび原始的挿入数を持つ genus 0 グロモフ＝ウィッテン不変量を、二重根再帰予想が効果的に計算できるか。
• RQ2 なぜ特定の4点および8点不変量が立方体超曲面においてモノドロミー群手法では計算できないのか。それらはどのように回復できるか。
• RQ3 直線のファノ多様体は、立方体超曲面の量子コホロロジーを再構成するために果たす役割は何か。
• RQ4 還元された genus 1 不変量とファノ完全交差の文脈における genus 0 不変量の間にはどのような関係があるか。
• RQ5 立方体超曲面の直線のファノ多様体のコホロロジー環構造を用いて、genus 0 不変量の閉形式表現を導出できるか。

主な発見

• 二重根再帰予想は、最初の非自明な次数、特に正確に4つの原始的挿入を持つ genus 0 グロモフ＝ウィッテン不変量において有効であることが証明された。
• 本稿は、対称的還元とモノドロミー不変性を用いて、2つの2次形式の奇数次元完全交差の再構成定理を確立した。
• 立方体超曲面において、本手法はモノドロミーの制限を克服し、従来は到達不可能であった4点および8点不変量を、直線のファノ多様体のコホロロジー環構造と還元された genus 1 不変量を用いて計算した。
• ⟨h^n ψ, h^{n-3}⟩_0,2 の計算は、対称多項式と留数を含む閉形式表現を得た：(d−1)!²/2 × [1/8 + (1/4)∑(d−p)/p + (1/2)∑(d−p)(d−q)/(pq) + ∑(d−p)(d−q)(d−r)/(pqr)]（1≤p<q<r≤d−1）。
• 付録 D のアルゴリズムは、行列 W、M、および関数 A_N に基づく再帰関係を用いて、F^(k)(0) を再帰的に効果的に計算できた。F^(0)、F^(1)、および l≥2 に対する F^(l) の明示的再帰関係が得られた。
• 数値例および予想的な閉形式式が提示され、特に F^(2) の対称多項式および留数を用いた予想的な閉形式式が含まれる。