[論文レビュー] Biharmonic properties and conformal changes

A. Balmuş|ArXiv.org|Aug 3, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、調和的リーマン被覆写像の被域計量を共形変換することで、新しい非調和双調和写像を構成する。その結果、恒等写像がこのような共形変換のもとで双調和的になるための必要十分条件は、共形因子が等パラメトリックであることであることが示され、球面およびユークリッド空間内の双調和部分多様体に関する既存の結果が拡張される。

ABSTRACT

We construct a new class of biharmonic maps, which are the critical points for the bienergy functional, by deforming conformally the codomain metric of harmonic Riemannian submersions such that they become nonharmonic but biharmonic.

研究の動機と目的

• 調和的リーマン被覆写像の被域計量を共形変換することにより、新しい非調和双調和写像のクラスを構成すること。
• リーマン多様体 (N,h) とその共形変換計量 (N,e²ρh) 間の恒等写像が双調和的となる条件を特定すること。
• 共形幾何に基づく新手法を用いて、球面およびユークリッド空間内の双調和部分多様体に関する先行研究を一般化すること。
• 恒等写像の双調和性と共形因子の等パラメトリック性との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 写像 π̃ = 1∘π の双調和性を、恒等写像 1:(N,h)→(N,e²ρh) の双調和性に還元する。
• 第二変分公式と曲率項を用いて、恒等写像が双調和的であるための必要十分条件を導出する。
• ジャコビ作用素 J と曲率項 R^N を用いて、双調和性条件を共形因子 ρ の言語で表現する。
• ρ の等位面に沿って Δρ が定数であるという条件を適用し、等パラメトリック性を導出する。
• 再パrametrized 共形因子 ρ(s) に対して2階常微分方程式（式3.8）を解き、双調和性を保証する。
• ℝⁿ および ℝⁿ₊ 上の等パラメトリック関数 s を用いて具体例を構成し、微分方程式を解いて ρ を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被域計量の共形変換が、調和的リーマン被覆写像を非調和的だが双調和的写像に変えるための条件は何か？
• RQ2 恒等写像 1:(N,h)→(N,e²ρh) が双調和的であるためには、共形因子 ρ がどのような幾何的性質を満たすべきか？
• RQ3 恒等写像の双調和性と、共形因子の等パラメトリック性との関係は何か？
• RQ4 ユークリッド空間および半空間領域上でのこのような双調和恒等写像の具体例を構成できるか？
• RQ5 恒等写像 1:(N,h)→(N,e²ρh) の双調和性と、逆写像 1:(N,e²ρh)→(N,h) の双調和性との関係は何か？

主な発見

• N がアインシュタイン多様体で n≠4 である限り、恒等写像 1:(N,h)→(N,e²ρh) が双調和的であることの必要十分条件は、共形因子 ρ が等パラメトリックであることである。
• N 上の任意の等パラメトリック関数 f に対して、ρ=ρ∘f と再パラメトリズエーションすることで、f の臨界点を除く領域で恒等写像が双調和的になる。
• ℝⁿ₊ において線形等パラメトリック関数 s を用いる場合、ρ(s)=ln s および ρ(s)=s^(4/(2−n)) は双調和恒等写像を与える。
• ℝⁿ において径向的等パラメトリック関数 s=‖x‖ を用いる場合、解は n=1 および n=3 のみに存在し、それぞれ a=1,2 および a=(5±√17)/2 となる。
• 双調和性の条件は、再パラメトリズエーション変数 s における2階常微分方程式（式3.8）に帰着され、局所解が存在する。
• 恒等写像 1:(N,h)→(N,e²ρh) の双調和性は、逆写像 1:(N,e²ρh)→(N,h) の双調和性とは同値でない、アインシュタイン空間でも同様である。